過去の記事の修正 - べっこう色の記録

修正というとき，必ずしも改善であるとは限らないが，これは改善であるといえると思う．

これらの記事についてである．
orz107orz.hatenablog.com
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かいつまんでいうと，級数 $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\cdots=\log 2$ について， $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$ という等式を使うと示せそうだよね，という話である．
2つ目の記事でライプニッツの補題と，ずいぶんたいそうな道具を使っていることが気になった。
ここまで読んだ方はお気づきだろう。この話はこの道具を使う必要はない。これでよい。

$2n$ までであれば， $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$ の極限をとることで， $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k})=\log 2$ であるわけだ．
それなら $2n+1$ までならば，いつものパターンのこれでいい．
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1})$
$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k})+\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1}$
$=\log 2 +0 = \log 2$ ．

簡単じゃないか…！