過去の記事の修正

修正というとき,必ずしも改善であるとは限らないが,これは改善であるといえると思う.

これらの記事についてである.
orz107orz.hatenablog.com
orz107orz.hatenablog.com

かいつまんでいうと,級数\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\cdots=\log 2について,\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}という等式を使うと示せそうだよね,という話である.
2つ目の記事でライプニッツ補題と,ずいぶんたいそうな道具を使っていることが気になった。
ここまで読んだ方はお気づきだろう。この話はこの道具を使う必要はない。これでよい。

2nまでであれば,\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}の極限をとることで,\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k})=\log 2であるわけだ.
それなら2n+1までならば,いつものパターンのこれでいい.
\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1})
\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k})+\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1}
=\log 2 +0 = \log 2

簡単じゃないか…!