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等式とその極限

このような等式を知った.
 \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}. (1)
この等式を用いれば区分求積法から,
 \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n})
=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n}
=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x}dx
=\log 2
となるから,\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\cdots=\log 2の雰囲気が味わえる.

(1)の証明は数学的帰納法による.
(証明)
n=1の場合,(左辺)=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}かつ,(右辺)=\frac{1}{2\cdot1}=\frac{1}{2}より成立する.
nの場合に成立すると仮定して,n+1の場合を示す.
 \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}
この両辺に \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} を加えると,

\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}

左辺は示すべき式の左辺にn+1を代入したものである.右辺について,
 \frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}
=\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}
=\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}
この式は示すべき式の右辺にn+1を代入したものである.
よってn+1の場合も成立することが示された.(証明終)

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