等式とその極限 - べっこう色の記録

このような等式を知った．
　 $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$ ．（１）
この等式を用いれば区分求積法から，
　 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n})$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n} \cdot \frac{1}{n}$
$=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x}dx$
$=\log 2$
となるから， $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\cdots=\log 2$ の雰囲気が味わえる．

（１）の証明は数学的帰納法による．
（証明）
$n=1$ の場合，（左辺） $=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ かつ，（右辺） $=\frac{1}{2\cdot1}=\frac{1}{2}$ より成立する．
$n$ の場合に成立すると仮定して， $n+1$ の場合を示す．
　 $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$
この両辺に $\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$ を加えると，

$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$
$=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

左辺は示すべき式の左辺に $n+1$ を代入したものである．右辺について，
　 $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}$
$=\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}$
$=\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$ ．
この式は示すべき式の右辺に $n+1$ を代入したものである．
よって $n+1$ の場合も成立することが示された．（証明終）

（20.5.20)
（別証）
$S_n = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$ とおく．
（（１）の左辺）
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$
$=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n} -2 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \cdots +\frac{1}{2n})$
（（１）のマイナスの項をプラスに置き換え，2個分引くことで帳尻をあわせる）
$=S_{2n}-2 \cdot \frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \cdots + \frac{1}{n})$
$=S_{2n} - S_{n}=$ （（１）の右辺）　（別証終）