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対称群(巡回置換・互換・あみだくじの原理)

ちょっと実験したところ,次のことが分かった.たぶんあみだくじの原理の一表現だと思う.たぶん.
ここでは置換\sigma,\, \tau \in S_{n}に対して,\tau\sigma=\tau \circ \sigmaと定義する.

命題.
n次対称群S_{n}の巡回置換と互換について次の等式が成立する.
(1) (i_{1} \, \, i_{2}\, \, \cdots \, i_{r})=(i_{1}\,i_{r})(i_{1}\,i_{r-1})\cdots(i_{1}\,i_{2}).
(2) (i_{r} \, i_{s})=(i_{r}\,i_{r+1})(i_{r+1}\,i_{r+2})\cdots(i_{s-2}\,i_{s-1})(i_{s-1}\,i_{s})(i_{s-2}\,i_{s-1})\cdots(i_{r}\,i_{r+1}).
ただし,i_{r} < i_{s}とする.

(1)の証明は各i_{k}のふるまいを見ればたやすい.
(2)の証明もi_{r},\, i_{s}がどううつるのかをみればよい.