べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

2013-02-10

常微分方程式の基本的な解法（一階線形常微分方程式）の具体例

　いくつか具体例を挙げておく．
例．
１． $\frac{dx}{dt}(t)+x(t)=1$ ．

解．
１．まず斉次方程式 $\frac{dx}{dt}(t)+x(t)=0$ を解く．
　　 $\frac{dx}{dt}(t)=-x(t)$
変形して，
　　 $\frac{1}{x(t)}\frac{dx}{dt}(t)=1$
より，
　　 $x(t)=C \exp (-t)$
が解である．ただし $C$ は積分定数である．
　ここで定数変化法を用いる．
　　 $x(t)=C(t) \exp (-t)$
を元の方程式に代入すると，
　　 $\frac{dC}{dt}(t) \exp(-t) = 1$
である．よって，
　　 $C(t)=\exp(t) + C$
となる．従って，解は
　　 $x(t)=1+ C \exp (-t)$
となる．

今後も追加予定．