次の常微分方程式を考える.
(1)
ただし,は与えられた関数である.
の場合を斉次といい,そうではないときを非斉次という.
この常微分方程式を2段階に分けて解く.
(解)
1st step:斉次形を解く
まず,次の斉次常微分方程式を解くことを考える.
この方程式は変数分離形なので解ける.実際,解は
である.ただしは積分定数である.
2nd step:定数変化法
次に,1st stepで得られた解
(2)
の積分定数をに依存した関数だと思い,
元の方程式(1)に代入する.(これを定数変化法と呼ぶ)
微分を計算すると,
が得られる.これより
となるから,両辺積分すると
となる.ここでは積分定数である.(2)に代入すると(1)の解
が得られる. (終)