問． かつならばを示せ．（解説） ・収束する数列は有界数列である．（証明） 任意のをとる． 収束する数列は有界数列であるから，あるが存在して， すべてのに対してである． ならば，あるが存在して，に対してが成り立つ． ならば，あるが存在して，に対し…

問． をε-δ論法で証明せよ．□（解説） ・よりである． よってである．（証明） 任意のをとる． を次を満たすように定める． (1) を満たすに対して （分子の有理化） ． （(1)より） ε-δ論法よりが示された．（証明終）

ε-δ論法ネタその２． ネットで検索すると，「ε-δ論法って分かりにくいよね？解説するよ！」というサイトは多い． そしてそういったサイトは至極分かりやすい．一方，問題の解き方をそのものずばりで書いているサイトはあまり多くない気がする． というわけで…

問． 関数がにおいて連続で，ならば の十分近くのすべてのに対してとなる．□典型的なε-δ論法の練習問題である．（証明） 関数はで連続であるから， 任意のに対して，あるでならばとなるものが存在する． ととる．上の式で存在するを固定する． を満たすすべ…

問．（東京大学2004第1問） 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている． は一辺の長さの正三角形であり，点を通る直線の傾きはである． このとき，の値を求めよ．□上は完全に思い出話で終わってしまったが， 結局のところどうやって解くの，ということを…

忘れられない問題は多々あるが，その内のひとつは次の問題である．問．（東京大学2004第1問） 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている． は一辺の長さの正三角形であり，点を通る直線の傾きはである． このとき，の値を求めよ．□忘れもしない，私が初…

関数（）は重要な関数である．である． つまりとなる有界連続関数である．

ホーナー法は多項式の値を求めるアルゴリズムである．例えば三次の整式について，の値を求めるとする． 通常であればや係数に掛け算の計算が要る． この場合であれば回の掛け算をせねばならない．計算はできればやらないほうがいい．ミスが減らせるからだ．…

上の話は相乗平均でも変わらない．とおく． このとき ．

相加平均について考えたい．３つの数の相加平均をとする． このとき４つめの数を加えても相加平均が変わらないようにするにはどうすればいいだろうか．実際に計算をしてみよう． ここでであることに注意すると， より が得られる．何も考えず，好奇心にまか…

前日の曲線のパラメータについては、やはりおかしかった。例えば、内の軸上の点はと表現される。 曲線のパラメータは一変数であると思われる。

３次元の場合、２変数で曲面を、１変数で曲線が表せる。 ここから考えると、４次元空間中の３変数で曲面で表され、 曲線は２変数のパラメータで表されるのか？ なんだか変な感じはするのだが…。

および はよく知られた公式だ．少し計算すると も分かる． ということは一般には…

具体例で使い方を追いかける．例． 関数を考える． である． これより点Pに対して，となる． 陰関数定理よりを含む開近傍とその開近傍上で定義された陰関数が存在する．この場合はよりである．

命題． 三角形ABCに対して次の等式が成り立つ． ．□（証明） 三角関数の加法定理により，であるから， ． 補角の公式より ． ゆえに ．（証明終）

電流とは「電荷の移動のこと」をいうそうだ． 意味は間違いないのだが，これであれこれ計算しろといわれても困る． これは辞書的な意味しかない．物理で習う電流[A]は，単位時間にある面を通り過ぎていく電荷の量を指すそうだ．量そのものの多少が関わるだろ…

定理．（積分の平均値の定理） に対して，が存在して と表せる．□（証明） が定数関数であれば明らかである． そこでが定数関数ではないとする． このとき最大・最小値の定理より有界閉区間上最大値および最小値が存在する． すなわち （） が成り立つ．両辺…

水中で受ける浮力は，その物が押しのけた水の質量の大きさに等しい．有名な「ヘウレーカ」の伝説である．

これが昨日書いた部分積分の基本になる等式である．

積分の計算の常套手段であるものすごい定理である．定理．（部分積分） に対して，次の等式が成り立つ． ．□証明は積の微分法の両辺を積分することで得られる． これほどまでに証明は楽なのに，かなり使える定理である． こんなに贅沢をしていいのだろうか．

例． を計算せよ．□「暗記しろ」といわれてしまう問題だが，その場で計算することももちろんできる．解） （を用いた） （を用いた） （部分積分法） ．（は積分定数）□やはり計算するよりも，覚えているほうがいい気がする． これはどうだろう？解2） （を…

問． を求めよ．やってみることにする． 解） （部分分数分解） （部分分数分解） ．（Cは積分定数）

高校のころ軌跡の問題が苦手だった． この記事では黙々と軌跡の問題を解いていこうと思う．問． 点，に対して，を満たす点の軌跡を求めよ．□解） 点とおく．２点間の距離の公式から となる．両辺を二乗して整理する． ． よって点は直線上に存在することがわ…

漸近線についてググっていたところこのような記事にあたった． 漸近線(ぜんきんせん)とは - コトバンク この記事によれば > 限りなく近づいてはいくが、決して交わらないし、接しもしない直線 と書いてある． 一方で 漸近線の求め方に関する考察 によると， …

を初めて見たときは信じられなかった。 一辺１の正方形を長方形で敷き詰めていくのを見るまでは。

自然数の公理として大変有名なものだが，私はさっぱり分からない． 理解のための記事である．公理．（ペアノの公理） 次の５個の性質をもつ集合を自然数の集合という．その元を自然数という． １）という元が属する． ２）すべてのに対して，後者が存在する…

留数を何らかの方法で求められれば，積分の値が求まることを前回述べた． その「何らか」の方法はローラン展開された式から分かる．例えば関数の点におけるローラン展開が次の形だったとしよう． ． 両辺にをかけると，分母が払われて となる．を両辺に代入…

定理． 中心穴あき開円板において正則な関数 のローラン展開が次の式で与えられるとする． このとき， となる．□（略証） 両辺積分し，右辺を項別積分する． このとき留数定理その１で登場した事実を用いるとの積分の値はであり， それ以外の積分の値は0であ…

三角関数の定義は幾通りか存在する． ここでは級数で定義し，加法定理を証明する．定義．（三角関数） および と定義する．□定理．（三角関数の加法定理） 等式が成立する．□（証明） （二項定理） （組み合わせの定義） （☆） ．（証明終）途中の変形（☆）…

位置エネルギーといえば，高いところとばねのイメージしかない． しかし実際には他の力でも位置エネルギーの概念があるようだ．大前提 １．エネルギーをもつ，とは物が仕事をする能力のことである ２．エネルギーがE[J]である，とはE[J]の仕事をする能力をも…