2次関数が切り取る線分の長さ

2次関数y=ax^2+bx+cが直線と2個の共有点を持つとき,
それらの共有点を端点に持つ線分の長さを考える。これを切り取る線分の長さという。

例題.
y=x^2-x-6x軸から切り取る線分の長さを求めよ。

解)
x^2-x-6=0
(x+2)(x-3)=0
x=-2,3
与えられた関数はx軸と点(-2,0),(3,0)という共有点を持つ。
線分の長さは共有点のx座標の差で計算できるので
3-(-2)=5
である。

この例題を見れば分かるとおり,x軸との共有点の場合は
与えられた関数の零点を求めてx座標の差を計算すればよいので,
容易に因数分解できるときは何も問題にならない。
したがって因数分解しにくい,平方根が混じる場合が問題となる。

例題.
y=2x^2-3x-4x軸から切り取る線分の長さを求めよ。

解)
2x^2-3x-4=0として,この方程式を解く。解の公式を使って
 \displaystyle x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}=\frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}
これは与えられた関数のx軸との共有点のx座標であり,
その差が切り取る線分の長さであるから
\displaystyle \frac{3 + \sqrt{41}}{4} - \frac{3 - \sqrt{41}}{4}=\frac{\sqrt{41}}{2}
である。

最後の式を見れば分かるが,2次関数がx軸から切り取る線分の長さは\displaystyle \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{|a|}である。
分母に絶対値がついているのはa<0の場合も考えているからである。
センター試験で覚えていると使えることもあった公式だが,共通テストではどうなるだろうか。

この方法以外にも解と係数の関係を使う方法もある。書いておこう。

解)
2x^2-3x-4=0として,この方程式の解を\alpha , \betaとする。ただし\alpha < \betaとする。
求めるx軸から切り取る線分の長さは \beta - \alphaである。
解と係数の関係より\alpha + \beta = \frac{3}{2}, \alpha \beta = -2である。
対称式の計算(\beta - \alpha)^2=(\alpha + \beta)^2 -4 \alpha \beta=\frac{9}{4}+8=\frac{41}{4}となるから,
2乗を外して\beta - \alpha =\frac{\sqrt{41}}{2}を得る。ここで\alpha < \betaを使った。