2次関数が切り取る線分の長さ - べっこう色の記録

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ が直線と2個の共有点を持つとき，
それらの共有点を端点に持つ線分の長さを考える。これを切り取る線分の長さという。

例題．
$y=x^2-x-6$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めよ。

解）
$x^2-x-6=0$
$(x+2)(x-3)=0$
$x=-2,3$
与えられた関数は $x$ 軸と点 $(-2,0),(3,0)$ という共有点を持つ。
線分の長さは共有点の $x$ 座標の差で計算できるので
$3-(-2)=5$
である。

この例題を見れば分かるとおり， $x$ 軸との共有点の場合は
与えられた関数の零点を求めて $x$ 座標の差を計算すればよいので，
容易に因数分解できるときは何も問題にならない。
したがって因数分解しにくい，平方根が混じる場合が問題となる。

例題．
$y=2x^2-3x-4$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めよ。

解）
$2x^2-3x-4=0$ として，この方程式を解く。解の公式を使って
$\displaystyle x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}=\frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$
これは与えられた関数の $x$ 軸との共有点の $x$ 座標であり，
その差が切り取る線分の長さであるから
$\displaystyle \frac{3 + \sqrt{41}}{4} - \frac{3 - \sqrt{41}}{4}=\frac{\sqrt{41}}{2}$
である。

最後の式を見れば分かるが，2次関数が $x$ 軸から切り取る線分の長さは $\displaystyle \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{|a|}$ である。
分母に絶対値がついているのは $a<0$ の場合も考えているからである。
センター試験で覚えていると使えることもあった公式だが，共通テストではどうなるだろうか。

この方法以外にも解と係数の関係を使う方法もある。書いておこう。

解）
$2x^2-3x-4=0$ として，この方程式の解を $\alpha , \beta$ とする。ただし $\alpha < \beta$ とする。
求める $x$ 軸から切り取る線分の長さは $\beta - \alpha$ である。
解と係数の関係より $\alpha + \beta = \frac{3}{2}, \alpha \beta = -2$ である。
対称式の計算 $(\beta - \alpha)^2=(\alpha + \beta)^2 -4 \alpha \beta=\frac{9}{4}+8=\frac{41}{4}$ となるから，
2乗を外して $\beta - \alpha =\frac{\sqrt{41}}{2}$ を得る。ここで $\alpha < \beta$ を使った。