岩手大学2017農学部第2問を解く

今年度も平面のベクトルだった。
(2)でベクトルの話から点の話へ移っているのは、ベクトルの成分を求めよ、だといまいちかっこつかないからだろうか。

２．
座標平面上で原点をOとし、3点 $A=(-2,1),B=(3,-4),C=(7,-1)$ をとり、 $\vec{a}=\vec{OA},\vec{b}=\vec{OB},\vec{c}=\vec{OC}$ とおく。また、線分ABを $t:(1-t)$ に内分する点をP、線分BCを $t:(1-t)$ に内分する点をQ、線分PQを $t:(1-t)$ に内分する点をRとする。ただし $0 < t <1$ とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\vec{OR}$ を $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ を用いて表せ。
解）それぞれの点P,Qが内分点として表されているので、
$\vec{OP}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}, \vec{OQ}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$ である。
再び点RはPとQの内分点であるから
$\vec{OR}=(1-t)\vec{OP}+t\vec{OQ}$ ．
上式を代入して
$\vec{OR}=(1-t)^2\vec{a}+2t(1-t)\vec{b}+t^2 \vec{c}$ ．
(2) 点Rの座標をtを用いて表せ。
解） $\vec{OR}=(1-t)^2\vec{a}+2t(1-t)\vec{b}+t^2 \vec{c}$ を $\vec{a}=(-2,1),\vec{b}=(3,-4),\vec{c}=(7,-1)$ を代入することで
$\vec{OR}=(-t^2+10t-2,8t^2-10t+1)$ を得る。求める点Rの座標は $R(-t^2+10t-2,8t^2-10t+1)$ である。
(3) $\vec{BC}$ と $\vec{OR}$ が垂直になるtの値を求めよ。
解） $\vec{BC}$ と $\vec{OR}$ が垂直になるのは、 $\vec{BC} \cdot \vec{OR}=0$ を満たすことが同値である。
$\vec{BC}=\vec{c}-\vec{b}=(4,3)$ であるから，
　 $\vec{BC} \cdot \vec{OR}=0$
　 $4(-t^2+10t-2)+3(8t^2-10t+1)=0$
　 $4t^2+2t-1=0$
この2次方程式を解くと、 $t=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$ となる。
$0 < t < 1$ より $t=\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ が求める $t$ である。

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

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