岩手大学2018農学部第1問を解く

2年ぶりに帰ってきた過去問解答である.
今回も出だしは小問集合だが,なんとここに平面のベクトルの問題がある.
この瞬間,以降の大問には幾何学的ベクトルの問いがないことが分かって衝撃を受ける。
もうベクトルの大問を出題することはあきらめてしまったのだろうか?

1.
(1) 2進法で11101011_{(2)}と表される数を5進法で表せ。
解)
11101011_{(2)}を10進法に直すと2^7+2^6+2^5+2^3+2^1+2^0=235である。
235を5で割り続け,余りを見ていくことで1420_{(5)}を得る。

(2) 三角形OABにおいて,辺OAを1:2に内分する点をC,
辺OBを1:3に内分する点をD,
線分ADの中点をEとする。また,\vec{OA}=\vec{a},\vec{OB}=\vec{b}とする。
このとき,\vec{CE}\vec{a}, \vec{b}を用いて表せ。
解)
\vec{OC}= \frac{1}{3} \vec{a},\vec{OD}= \frac{1}{4} \vec{b}より
\vec{CE}=\vec{OE}-\vec{OC}
  =\frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OD})-\vec{OC}
  =\frac{1}{2}(\vec{a}+\frac{1}{4} \vec{b})-\frac{1}{3} \vec{a}
  =\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}.

(3) 1個のさいころを投げて出た目をaとするとき,
2次方程式x^2 -ax +2a-3=0が実数の解をもつ確率を求めよ。
解)
2次方程式が実数の解を持つのは
この方程式の判別式DがD \geq 0を満足するときである.
D=(-a)^2-4 \cdot 1 \cdot (2a-3)=(a-2)(a-6)
であるから(a-2)(a-6) \geq 0を解いてa \leq 2, 6 \leq aを得る.
aはさいころの目だから起こりうるすべての場合は6通りであり
これらは同様に確からしい.
一方不等式を満たす目は3通りであるから求める確率は\frac{3}{6}=\frac{1}{2}である.