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素元と既約元

数学

何度考えても混乱するのでまとめてみる.
こういうところで書いておけば少しは頭に入るだろう.

R可換環とする.
p \in R素元とはp|abならばp|aまたはp|bが成り立つことを言う.
m \in R既約元とはm=abならばaまたはbのいずれか一方が単元であることを言う.
単元とは可換な元のことを言う.

素元という言葉から,素数を連想すると思う.
中学校で素数を習う際には,上記の既約元の形で定義するが,素元の定義と必要十分条件なので問題ない.
このことを証明していこう.

可換環Rについて,a, b \in Rに対し
ab=0ならばa=0またはb=0が成り立つとき,R整域という.

整域はつまり零因子が存在しない,ということである.
通常の整数の集合や有理数の集合は整域である.
行列は零因子があるので,そのままでは整域にはならないことが分かる.

以下Rは整域とする.

まず整数の話に限らず「素元ならば既約元」を証明する.
(証明)
pを素元とし,p=abであるとする.
左辺がpの倍数ゆえ右辺もpの倍数である.
素元の定義からp|abならばp|aまたはp|bが成り立つ.
p|aであると仮定すると,a=pa'となるa' \in Rがとれる.
元の式に代入するとp=pa'bであるが移行してpでくくるとp(a'b-1)=0となる.
Rは整域でp \not= 0からa'b-1=0,つまりa'b=1である.
これはbが単元であることを意味する.
p|bの場合も全く同様の議論で証明できる.(証明終)

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