素元と既約元 - べっこう色の記録

何度考えても混乱するのでまとめてみる．
こういうところで書いておけば少しは頭に入るだろう．

$R$ を可換環とする．
$p \in R$ が素元とは $p|ab$ ならば $p|a$ または $p|b$ が成り立つことを言う．
$m \in R$ が既約元とは $m=ab$ ならば $a$ または $b$ のいずれか一方が単元であることを言う．
単元とは逆元をもつ元のことを言う．

素元という言葉から，素数を連想すると思う．
中学校で素数を習う際には，上記の既約元の形で定義するが，素元の定義と必要十分条件なので問題ない．
このことを証明していこう．

可換環 $R$ について， $a, b \in R$ に対し
$ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$ が成り立つとき， $R$ を整域という．

整域はつまり零因子が存在しない，ということである．
通常の整数の集合や有理数の集合は整域である．
行列は零因子があるので，そのままでは整域にはならないことが分かる．

以下 $R$ は整域とする．

まず整数の話に限らず「素元ならば既約元」を証明する．
（証明）
$p$ を素元とし， $p=ab$ であるとする．
左辺が $p$ の倍数ゆえ右辺も $p$ の倍数である．
素元の定義から $p|ab$ ならば $p|a$ または $p|b$ が成り立つ．
$p|a$ であると仮定すると， $a=pa'$ となる $a' \in R$ がとれる．
元の式に代入すると $p=pa'b$ であるが移行して $p$ でくくると $p(a'b-1)=0$ となる．
$R$ は整域で $p \not= 0$ から $a'b-1=0$ ，つまり $a'b=1$ である．
これは $b$ が単元であることを意味する．
$p|b$ の場合も全く同様の議論で証明できる．（証明終）

逆はじつは簡単ではない．
イデアルを導入しなければならないからだ．
そして素・極大それぞれのイデアルの概念を説明する．
さらに整数全体で作られる環は単項イデアル整域だということをいう．
こうすれば次の流れで証明できる．
（証明の概略）
既約元が生成するイデアルは極大イデアルである．
元の整数環を極大イデアルで割ると体となる．
体は整域である．
整数環を割って聖域となるイデアルは素イデアルである．
素イデアルを生成するのは素元である．（証明の概略終）
一行目にPID（単項イデアル整域）であることを，
環を割るとは同値類の環を考えることを，
割ると整域や体となることはそれぞれ証明が必要である。