多項式の既約判定について

R可換環とする.
多項式R [ x ]上既約であるとは,単元でなく,積の形で書いたときに少なくともどちらか一方は単元であることを意味する.
つまり
1) f \notin R^{\times}
2) f=gh ならば g \in R^{\times} または h \in R^{\times}
からなる2条件を満たすときを言う.そうでないときは可約という.

中学校や高校の段階では因数分解できるかどうか,という話題である.
つまりなんらかの元を代入して 0 になればそれは可約である.(因数定理)
一般に与えられた多項式が既約かどうか見分けるのは難しい.
代入の話で言えば,どのような元が多項式の根になっているか見るだけでは分からないからである.
ただし整数係数多項式の既約判定には,アイゼンシュタインの既約判定法がよい.

定理.(アイゼンシュタインの既約判定法)
\mathbb{Z}係数多項式 f(x)=a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} の係数について,
次の3条件を満たすある素数 p が存在するとき,多項式 f(x) は既約多項式である.
1) p \nmid a_{n}
2) p | a_{i} (i=0, \ldots , n-1)
3) p^{2} \nmid a_{0} □

もうひとつ.平行移動をかけてもその既約性は変わらない.

命題
多項式 f(x) が既約 \Leftrightarrow a \in R に対してf(x+a)が既約 □

具体例を挙げて確認しよう.

例.
多項式 f(x)=x^3 - 2\mathbb{Z} [ x ] の既約多項式である.

解)
素数 p=2 について,アイゼンシュタインの既約判定法を適用すればよい.

例.
多項式 f(x) = 4x^3 - 3x - \frac{1}{2}\mathbb{Q} [ x ] 上既約である.

解)
すこしばかり変形をする.両辺に2をかける.
 2f(x) = 8x^3 - 6x -1
ここで
 2f(\frac{x+1}{2})
 = 8 (\frac{x+1}{2})^3 -6 (\frac{x+1}{2}) -1
 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 -3x -3 -1
 =x^3 + 3x^2 - 3
であるから素数 p=3 について,アイゼンシュタインの既約判定法を適用すればよい.

上にあげた2つの多項式は「立方体倍積問題」と「角の3等分問題」に関わっている.