岩手大学2016農学部第1問を解く

小問集合である．
昨年度同様，受験者を惑わせる，無駄に大きくどうでもいい数値設定である．

１．
(1) 2次関数 $y = x^2 -2ax + a + 2$ の最小値が負であるような定数 $a$ の範囲を求めよ．
解）
与えられた関数を平方完成すると $y = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$ である．
頂点の座標は $(a, -a^2+a+2)$ なので， $x=a$ のとき最小値 $-a^2+a+2$ である．
この値が負であるとは $-a^2+a+2 < 0$ のことで，この不等式を解くと $a < -1 , 2 < a$ を得る．

(2) AチームとBチームがサッカーの試合を7回行う．
どの試合でも，Aチームが勝つ確率は $\frac{1}{2}$ ，Bチームが勝つ確率は $\frac{1}{6}$ ，
引き分けとなる確率は $\frac{1}{3}$ であるとして，Aチームの試合結果が3勝2敗2引き分けとなる確率を求めよ．
解）
3勝2敗2引き分けとなる試合結果が何通りあるか計算する．
勝ちを○，負けを●，引き分けを△で表すと，○を3個，●を2個，△を2個並べる組み合わせに等しい．
これは ${}_7 C_3 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 = 210$ 通りある．
1つの組み合わせに対して，3勝2敗2引き分けとなる確率は $(\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{1}{3})^2$ である．
求める確率は $210 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = \frac{35}{432}$ である．

(3) 四面体OABCにおいて，
　 $BC=30, CA=26, \cos \angle BAC = \frac{5}{13},OA=18, \angle OAB = \angle OAC = 90^\circ$
であるとき，辺ABの長さ及び四面体OABCの体積を求めよ．
解）
△OABに対して余弦定理を用いる．
$AB^2 +26^2 -2 \times 26 \times AB = 30^2$
$AB^2 -52 AB -224 = 0$
$(AB-56)(AB+4)=0$
$AB > 0$ より $AB = 56$ ．
また $\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1$ より $\sin^2 \angle BAC = \frac{144}{169}$ ．
つまり $\sin \angle BAC = \frac{12}{13}$ である．
これより△ABC $= \frac{1}{2} AB \times AC \times \sin \angle BAC = 672$ となる．
仮定より四面体OABCにおいて $\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ$ であるから，底面積を△ABCと見ると高さはOAである．
よって四面体OABC $=\frac{1}{3} \times 672 \times OA = \frac{1}{3} \times 672 \times 18 = 4032$ ．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

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