以下では常微分方程式の局所解の一意存在定理の証明をする.
(証明)(常微分方程式の局所解の一意存在定理)
1st step:同値な方程式
常微分方程式の両辺を上で積分すると,
(1)
が得られる.逆にがこの積分方程式を満たすなら,
の連続性から右辺は級となる.よって,は元の常微分方程式を満たす.今後は積分方程式(1)の解の存在を示す.
2nd step:近似解の構成(Picardの逐次近似法)
以下のようにして常微分方程式の近似解を定める.
まず,番目を で定める.
次に,番目が定まったとする.このとき番目を
(2)
で定める.このがに属するように時刻を短くとる.すなわち,
(3)
であるから, を を満たすようにとればよい.
この不等式(3)はすべてのについて成立する.従って,この時刻上では,いつでも番目が与えられれば,番目が構成できる.以降では,とおき,この区間で考える.
3rd step:近似解の収束
構成した近似解 を次のように書く.
これがある連続な極限関数に収束することを示す.
そのために,各連続関数に対し,上の優級数が存在することを示す.
そうすれば,WeierstrassのM判定法により,級数の絶対一様収束性が示され,
同時に連続関数の存在もいえる.
まず,と積分の三角不等式を合わせて,
である.一般に,
(4)
が成立することを数学的帰納法で示す.番目で成立すると仮定する.番目に対して,
のLipshitz連続性から,
が従う.途中,数学的帰納法の仮定(4)と積分
を用いている.よっての場合の成立も示されたので,
すべてのについて(4)が成立することが示された.
(4)の左辺についての級数はののまわりのTaylor展開であるから,
となる.従って,WeierstrassのM判定法から
はある極限関数に上絶対一様収束する.
4th step:が積分方程式(1)の解であること
近似解の構成で現れた式(2)の両辺の極限をとる.
がに上絶対一様収束することとはでLipshitz連続であることから,
と極限と積分が交換できる.またはでLipshitz連続,
特に連続であるから,
が得られる.従って,は(1)の解であることが示された.
5th step:積分方程式(1)の解の上の一意性
積分方程式(1)の上の2つの解をとする.
それぞれ(1)を満たすことから,各に対して次の方程式を満たすことが分かる.
のLipshitz連続性から,
が従う.ここでGronwallの不等式から
が得られる.従って,上の一意性も得られた.
以上により常微分方程式の局所解の一意存在定理が示された. ■