京大理系2006年後期第5問（水の問題）

問．（水の問題）
$H>0$ ， $R>0$ とする．空間内において，原点 $O$ と点P $(R,0,H)$ を結ぶ線分を， $z$ 軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さが $h$ のとき単位時間あたりの排水量が $\sqrt{h}$ となるように，水を排出する．すなわち，時刻tまでに排出された水の総量を $V(t)$ とおくとき， $\frac{dV}{dt}=\sqrt{h}$ が成り立つ．このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ．□

原点に頂点がある逆円錐の容器に水を張り，「ある早さ」で水を抜いていくとどれくらいで抜けるか，という問いである．
本来ならこの「ある早さ」を数式に翻訳するのが大変であり，
「時刻 $t$ での水の流入速度 = 時刻 $t$ における水面の面積 × 時刻 $t$ における高さの上昇速度」
で求められる．ここではありがたいことに問題文の「すなわち」以下に書いてある．
よってただ誘導に乗ればよい．
ちなみに，水の高さ $h$ は水が抜ければ変わっていくので，時刻 $t$ に依存する関数である．

（解）
時刻 $t$ での水の排出量 $V(t)$ を求める．
ここでの水の高さは $h(t)$ であり，底面の円の半径は $\frac{R}{H}h(t)$ であるから
　 $V(t)$
　 $=$ （円錐の体積）−（ここでの円錐の体積）
　 $=\frac{1}{3}\pi R^{2} H -\frac{1}{3}\pi (\frac{R}{H}h(t))^{2}h(t)$
　 $=\frac{1}{3}\pi R^{2} H -\frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{H^2}(h(t))^3$
が得られる．水が排出される早さは，問題文から $\frac{dV}{dt}=\sqrt{h}$ であるから
　 $\frac{d}{dt}(\frac{1}{3}\pi R^{2} H -\frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{H^2}(h(t))^3)=(h(t))^{1/2}$
合成関数の微分法を用いると
　 $-\frac{\pi R^2 h^2}{H^2}\frac{dh}{dt}(t)=(h(t))^{1/2}$
となる．両辺を整理して
　 $(h(t))^{3/2}\frac{dh}{dt}(t)=-\frac{H^2}{\pi R^2}$
となる．ここで積分変数を $s$ に変え，両辺を $0$ から $t$ まで積分する．
　 $\int_{0}^{t} (h(s))^{3/2}\frac{dh}{ds}(s) ds=-\int_{0}^{t}\frac{H^2}{\pi R^2}ds$
　 $\frac{2}{5} ( (h(t))^{5/2} - H^{5/2}) = - \frac{H^2}{\pi R^2}t$ ．
上の式で $h(0)=H$ であることに注意する．
すべての水を排出したときの時刻を $t_{0}$ とすると， $h(t_{0})=0$ であるから，
　 $\frac{2}{5} ( ( h(t_{0}))^{5/2}-H^{5/2})=-\frac{H^2}{\pi R^2}t_{0}$
　 $\frac{2}{5} ( 0^{5/2}-H^{5/2})=-\frac{H^2}{\pi R^2}t_{0}$
整理すると $t_{0}=\frac{2}{5}\pi R^{2} H^{1/2}$ を得る．（終）

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

京大理系2006年後期第5問（水の問題）