べき集合の濃度 - べっこう色の記録

命題．
集合 $X$ とそのべき集合 $2^{X}=\{ A \mid A \subset X \}$ の濃度について次の不等式が成り立つ．
　　 ${\rm card} X < {\rm card} 2^{X}$ ．□

（証明）
単射 $X \ni x |\to \{ x \} \in 2^{X}$ により， ${\rm card} X \leq {\rm card} 2^{X}$ である．
背理法． ${\rm card} X = {\rm card} 2^{X}$ と仮定すると，全単射写像 $f:X \to 2^{X}$ が存在する．
集合 $A:=\{ x \in X \mid x \not{\in} f(x) \} \in 2^{X}$ を考える．
写像 $f$ は全単射であるから，ある $y \in X$ が一意的に存在して $f(y)=A$ が成立する．
このとき $y \in A$ または $y \not{\in} A$ のいずれかが成立する．
$y \in A$ ならば集合 $A$ の作り方から $y \not{\in} f(y) = A$ で矛盾する．
$y \not{\in} A$ ならば同様にして $y \in f(y) = A$ で矛盾する．
いずれにしても矛盾する．したがって， ${\rm card} X < {\rm card} 2^{X}$ が示された．（証明終）

一行目の単射の写像の矢印は要素から要素への写像を表す\mapstoを使ったのだが表示されず．
というわけでちょっとごまして記述してある．