球体と長方形 - べっこう色の記録

ルベーグ積分論とも絡む問題を書いておこう．

命題．
開球体 $B(a;r) := \{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid \, \parallel x - a \parallel_{\mathbb{R}^{d}} < r \}$ は開長方形の可算和の形で表現できる．
逆に開長方形は開球体の可算和の形で表せる．□

（証明）
前段を証明する．
すべての成分が有理数である任意の点 $q \in B(a;r)$ ， $q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{d})$ をとる．
$\epsilon=\frac{1}{2\sqrt{d}} \min \{ \parallel a-q \parallel _{\mathbb{R}^{d}} , r - \parallel a-q \parallel_{\mathbb{R}^{d}} \}$
とおくと，開長方形 $(q_{1}-\epsilon,q_{1}+\epsilon)\times \cdots \times (q_{d}-\epsilon,q_{d}+\epsilon)$ は $B(a;r)$ に含まれる．
有理数の稠密性から $B(a;r)$ のすべての点がこのようにして作られた長方形に含まれる．
後段を証明する．
開長方形 $I=(a_{1},b_{1}) \times \cdots \times (a_{d},b_{d})$ に対して，
すべての成分が有理数である任意の点 $q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{d}) \in I$ をとる．
このとき， $r=\frac{1}{2}\min \{ |q_{j}-a_{j}|,|b_{j}-q_{j}|\, \mid j=1,2, \ldots d \}$ と定めると， $B(q;r) \subset I$ となる．
有理数の稠密性から $I$ のすべての点がこのようにして作られた開球体に含まれる．（証明終）