相対位相 - べっこう色の記録

位相空間 $X,(Y, \, O(Y))$ および写像 $f:X \to Y$ が与えられたとする．
$f$ が連続写像になる最も弱い位相は
　 $O(X)= \{ f^{-1}(O) \mid O \in O(Y) \}$
である．この位相を $f$ によって $(Y, \, O(Y))$ から誘導される位相という．

位相空間 $(X, \, O(X))$ の部分集合 $M$ から $X$ への標準的単射 $i:M \to X,\, i(x)=x$ によって $(X, \, O(X))$ から誘導される位相を $M$ における， $O(X)$ の相対位相 $O(M)$ という．

相対位相 $O(M)$ はどのような集合系か．
任意の $O \in O(X)$ に対して
　 $i^{-1}(O)=\{ x \in M \mid i(x) \in O \}$
　　　　　　 $=\{ x \in M \mid x \in O \}$
　　　　　　 $=O \cap M$ ．
結局， $O(M)=\{O \cap M \mid O \in O(X) \}$ が分かった．