べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

平行線公準の話

数学

この話は最終的にはもちろん非ユークリッド幾何の話に行き着いてしまうのだが…
そこの手前，この公準が仮定されれば何ができるのかという話である．

まず簡単に分かるのは，次の錯角の話である．

定理．
平行線の錯角は等しい．□

中学校で習う，大変有益な定理である．
また小学校で習う次の話とも関連する．

定理．
三角形の内角の和は180°である．□

どちらも角を求めるときの基本になる定理だ．
手放すには惜しい．
昔の数学者の中に，平行線公準は証明可能だ，と考えていた人間がいたのも頷ける．

極限の問題

数学

もう少しいい方法があるかもしれないが，思いつかないのでこのままアップロードする．

問．
|r|<1とする．このとき\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0を示せ．□

（証明）
a_{n}=n|r|^nとする．
数列\{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty}が十分大きいnについては単調減少列であることを示す．
隣接二項の比がa_{n+1}/a_{n}=(1+\frac{1}{n})|r|であるから，
n >\frac{|r|}{1-|r|}となるすべてのnに対してa_{n+1} < a_{n}が成立する．
またa_{n} \geq 0であるから，数列は下に有界な単調減少列である．
ゆえに極限\alphaをもつ．
ここで
\alpha
\displaystyle =\lim_{n \to \infty} a_{n+1}
\displaystyle =\lim_{n \to \infty}(n+1)|r|^{n+1}
\displaystyle =\lim_{n \to \infty}n|r|^{n+1} + \lim_{n \to \infty} |r|^{n+1}
\displaystyle =|r| \lim_{n \to \infty} n|r|^{n} + 0
\displaystyle =|r| \lim_{n \to \infty} a_{n}
=|r| \alpha．
ゆえに|r|<1であるから，(1-|r|) \alpha =0より\alpha=0である．
|nr^{n}| = n|r|^n=a_{n}であるから示される．（証明終）

思いついたので書き込み．二項定理を用いる．

（証明）
n \geq 2とする．|r|<1よりt=\frac{1}{r}とおくとt>1である．
すなわち|r|^n=\frac{1}{|t|^n}となる．
ここで|t|=1+h（h>0）とすると，
n|r|^n
=\frac{n}{(1+h)^n}
=\frac{n}{1+nh+n(n-1)h^2/2+\cdots}
\leq \frac{n}{1+nh+n(n-1)h^2/2}
\to 0　as n \to \infty．（証明終）