2015-05-19

確率漸化式

数学

反復する確率は漸化式に直す．

2015-05-18

sin^n θの典型問題

数学

定積分に関する典型問題をひとつ．

問．
$I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^n x dx$
とするとき， $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ を示せ．

解．
部分積分法を実行する．
$I_{n}$
$=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x \sin^2 x dx$
$=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x (1-\cos^2x) dx$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}dx -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2x dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2x dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} (\frac{1}{n-1}\sin^{n-1} x)' \cos x dx$
$=I_{n-2}-[ \frac{1}{n-1}\sin^{n-1} x \cos x ]_{x=0}^{\pi/2}+\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{n-1} \sin^{n-1} x (-\sin x) dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{n-1} \sin^{n} x dx$
$=I_{n-2} - \frac{1}{n-1}I_{n}$ ．
$I_{n}$ について解くと， $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ を得る．

2015-05-17

群の例をまとめたい

日記

群論の理論が分かっても、はっきり言ってさっぱりわかっていない。
理由は簡単で、具体例が分からないからである。
例に定理を適用して初めて分かることもある。
ここに群の例をまとめて、参照して、覚えるようにしたいと思う。

例．（自明なもの）
$\{ 1 \}$ は明らかに群である．

例．（整数全体の集合）
$\mathbb{Z}$ は加法について群である．

2015-05-13

岩手大学2015農学部第3問アを解く

数学岩手大学

問．
四面体OABCにおいて，辺OAの中点をP，辺BCを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をR，辺ABを $s:(1-s)$ に内分する点をSとする．ただし， $0 < s < 1$ とする．また， $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{PQ}$ を $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ および $\overrightarrow{c}$ で表せ．
(2) $\overrightarrow{RS}$ を $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ および $s$ で表せ．
(3) 線分PQと線分RSが交わるときの $s$ の値を求めよ．

解
(1)
$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2} \overrightarrow{a}$ かつ $\overrightarrow{OQ}= \frac{1}{3} \overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$ から
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}+ \frac{1}{3} \overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$ ．

(2)
$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{c}$ かつ $\overrightarrow{OS}=(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$ から
$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR}=(1-s) \overrightarrow{a}+ s \overrightarrow{b} -\frac{1}{4} \overrightarrow{c}$ ．

(3)
２線分の交点をTとする．このとき， $\overrightarrow{OT}$ は各々の線分上にある条件から次の２個の表示を持つ．
線分PQ上に存在するから $\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}$ ．
線分RS上に存在するから $\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OR}+t \overrightarrow{RS}$ ．
つまり $\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OR}+t \overrightarrow{RS}$ である．
これより， $(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}r)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}r \overrightarrow{b} + \frac{2}{3}r\overrightarrow{c}=(1-s)t\overrightarrow{a} + st \overrightarrow{b} + (\frac{1}{4}-\frac{1}{4}t)\overrightarrow{c}$ を得る．
四面体の辺を幾何ベクトルとみなしているので， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ は線型独立である．
ゆえに係数比較可能で $\frac{1}{2} -\frac{1}{2}r=(1-s)t, \frac{1}{3}r =st, \frac{2}{3}r = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}t$ という３元１次連立方程式となる．
これを解いて， $(r,s,t)=(\frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{7}{15})$ を得る．つまり $s= \frac{1}{7}$ である．

2015-05-12

確率変数の期待値

数学

確率変数 $X$ に対して，確率分布が与えられているとする．
このとき期待値 $E[ X ]$ を次の式で定義する．
　 $\displaystyle E [ X ] =\sum_{j=1}^{n}x_{j}P(X=x_{j})$ ．

さてこの定義を見て，次を求めよといわれたらどうするだろうか．
『2つの確率変数 $X,Y$ に対して，期待値 $E [ XY ]$ を求めよ．』

2015-05-11

岩手大学2015農学部第5問を解く

数学過去問岩手大学

問．
(1) $\sin 3 \theta$ を $\sin \theta$ で表せ．
(2) $\cos 3 \theta$ を $\cos \theta$ で表せ．
(3) 関数 $y=-8 \sin^3 \theta + 6\sin \theta -3 \cos \theta +4 \cos^3 \theta +1$ の $\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$ における最大値と最小値を求めよ．

(1)，(2)は典型的な三倍角の公式で，三角関数の加法定理を用いるのみ．

解
(1)
$\sin 3 \theta$
$=\sin(2\theta + \theta)$
$=\sin2\theta \cos \theta + \cos2\theta \sin \theta$
$=2\sin \theta \cos^2 \theta +(1-2sin^2 \theta)\sin \theta$
$=2\sin \theta (1-\sin^2 \theta) +(1-2sin^2 \theta)\sin \theta$
$=3\sin \theta -4 \sin^3 \theta$ ．

(2)
$\cos 3 \theta$
$=\cos(2\theta + \theta)$
$=\cos 2 \theta \cos \theta - \sin 2 \theta \sin \theta$
$=(2\cos^2 \theta -1)\cos \theta -2\sin^2 \theta \cos \theta$
$=(2\cos^2 \theta -1)\cos \theta -2(1-\cos^2 \theta) \cos \theta$
$=4\cos^3 \theta -3\cos \theta$ ．

(3)
(1)および(2)を用いて関数を変形すると　 $y = 2 \sin 3 \theta + \cos 3 \theta + 1$
三角関数の合成をおこなうと　 $y = \sqrt{2} \sin (3 \theta + \alpha) + 1$
ただし， $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}, \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ であり， $\frac{3}{2} \pi \leq 3 \theta + \alpha \leq 3 \pi +\alpha$ である．
単位円を描き（省略）最大・最小値を求めると
$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $\sqrt{5}+1$ ， $\theta = \frac{3}{2} \pi$ のとき最小値3である．