2015-05-25

勉強したいのだが

日記

誘惑に負けて、動画なんぞを見ている。
勉強しようかな、と悩んでいる時間が一番の無駄だな。

2015-05-24

極限の問題

数学

もう少しいい方法があるかもしれないが，思いつかないのでこのままアップロードする．

問．
$|r|<1$ とする．このとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$ を示せ．□

（証明）
$a_{n}=n|r|^n$ とする．
数列 $\{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ が十分大きい $n$ については単調減少列であることを示す．
隣接二項の比が $a_{n+1}/a_{n}=(1+\frac{1}{n})|r|$ であるから，
$n >\frac{|r|}{1-|r|}$ となるすべての $n$ に対して $a_{n+1} < a_{n}$ が成立する．
また $a_{n} \geq 0$ であるから，数列は下に有界な単調減少列である．
ゆえに極限 $\alpha$ をもつ．
ここで
$\alpha$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty} a_{n+1}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}(n+1)|r|^{n+1}$
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty}n|r|^{n+1} + \lim_{n \to \infty} |r|^{n+1}$
$\displaystyle =|r| \lim_{n \to \infty} n|r|^{n} + 0$
$\displaystyle =|r| \lim_{n \to \infty} a_{n}$
$=|r| \alpha$ ．
ゆえに $|r|<1$ であるから， $(1-|r|) \alpha =0$ より $\alpha=0$ である．
$|nr^{n}| = n|r|^n=a_{n}$ であるから示される．（証明終）

思いついたので書き込み．二項定理を用いる．

（証明）
$n \geq 2$ とする． $|r|<1$ より $t=\frac{1}{r}$ とおくと $t>1$ である．
すなわち $|r|^n=\frac{1}{|t|^n}$ となる．
ここで $|t|=1+h$ （ $h>0$ ）とすると，
$n|r|^n$
$=\frac{n}{(1+h)^n}$
$=\frac{n}{1+nh+n(n-1)h^2/2+\cdots}$
$\leq \frac{n}{1+nh+n(n-1)h^2/2}$
$\to 0$ 　as $n \to \infty$ ．（証明終）

2015-05-19

確率漸化式

数学

反復する確率は漸化式に直す．

2015-05-18

sin^n θの典型問題

数学

定積分に関する典型問題をひとつ．

問．
$I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^n x dx$
とするとき， $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ を示せ．

解．
部分積分法を実行する．
$I_{n}$
$=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x \sin^2 x dx$
$=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x (1-\cos^2x) dx$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}dx -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2x dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2x dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} (\frac{1}{n-1}\sin^{n-1} x)' \cos x dx$
$=I_{n-2}-[ \frac{1}{n-1}\sin^{n-1} x \cos x ]_{x=0}^{\pi/2}+\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{n-1} \sin^{n-1} x (-\sin x) dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{n-1} \sin^{n} x dx$
$=I_{n-2} - \frac{1}{n-1}I_{n}$ ．
$I_{n}$ について解くと， $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ を得る．

2015-05-17

群の例をまとめたい

日記

群論の理論が分かっても、はっきり言ってさっぱりわかっていない。
理由は簡単で、具体例が分からないからである。
例に定理を適用して初めて分かることもある。
ここに群の例をまとめて、参照して、覚えるようにしたいと思う。

例．（自明なもの）
$\{ 1 \}$ は明らかに群である．

例．（整数全体の集合）
$\mathbb{Z}$ は加法について群である．

2015-05-13

岩手大学2015農学部第3問アを解く

数学岩手大学

問．
四面体OABCにおいて，辺OAの中点をP，辺BCを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をR，辺ABを $s:(1-s)$ に内分する点をSとする．ただし， $0 < s < 1$ とする．また， $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{PQ}$ を $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ および $\overrightarrow{c}$ で表せ．
(2) $\overrightarrow{RS}$ を $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ および $s$ で表せ．
(3) 線分PQと線分RSが交わるときの $s$ の値を求めよ．

解
(1)
$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2} \overrightarrow{a}$ かつ $\overrightarrow{OQ}= \frac{1}{3} \overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$ から
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}+ \frac{1}{3} \overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$ ．

(2)
$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{c}$ かつ $\overrightarrow{OS}=(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$ から
$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR}=(1-s) \overrightarrow{a}+ s \overrightarrow{b} -\frac{1}{4} \overrightarrow{c}$ ．

(3)
２線分の交点をTとする．このとき， $\overrightarrow{OT}$ は各々の線分上にある条件から次の２個の表示を持つ．
線分PQ上に存在するから $\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}$ ．
線分RS上に存在するから $\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OR}+t \overrightarrow{RS}$ ．
つまり $\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OR}+t \overrightarrow{RS}$ である．
これより， $(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}r)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}r \overrightarrow{b} + \frac{2}{3}r\overrightarrow{c}=(1-s)t\overrightarrow{a} + st \overrightarrow{b} + (\frac{1}{4}-\frac{1}{4}t)\overrightarrow{c}$ を得る．
四面体の辺を幾何ベクトルとみなしているので， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ は線型独立である．
ゆえに係数比較可能で $\frac{1}{2} -\frac{1}{2}r=(1-s)t, \frac{1}{3}r =st, \frac{2}{3}r = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}t$ という３元１次連立方程式となる．
これを解いて， $(r,s,t)=(\frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{7}{15})$ を得る．つまり $s= \frac{1}{7}$ である．