べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

e（自然対数の底、ネイピア数、ネピア数）の話

数学

自然対数の底，ネイピア数と呼ばれる数eがある。
日本では数学IIIで学ぶ。教科書では次の定義で導入される。

\displaystyle e = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}}

この式を眺めていてもよく分からない。

その理由は対数の微分にある。\log_a xに導関数の定義式を適用する。
\frac{\log_a (x+h) - \log_a x}{h}=\log_a(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}
h \to 0の極限を考えることになるが，最右辺の\logの中身が問題である。
この部分が上の式によれば，e^\frac{1}{x}に収束することになるわけだ。