lim_[x → 2] x^3 = 8の証明 - べっこう色の記録

ε-δ論法ネタその２．
ネットで検索すると，「ε-δ論法って分かりにくいよね？解説するよ！」というサイトは多い．
そしてそういったサイトは至極分かりやすい．

一方，問題の解き方をそのものずばりで書いているサイトはあまり多くない気がする．
というわけで，解説はそういった素晴らしいサイトに譲り，ここは淡々と問題を解いていくことにする．

問．
$\displaystyle \lim_{x \to 2}x^{3}=8$ をε-δ論法で証明せよ．□

（解説）
・εは決められないが，εに応じてδは自分で設定できる．
・ $|x-2| < \delta$ の左辺に三角不等式を用いると $|x|-2<\delta$ である．
　これより $|x|< \delta + 2$ が得られることに注意する．
・ $0 < \delta < \frac{1}{2}$ とすると $\delta^{2}<\delta,\delta^{3}<\delta$ とできる．

（証明）
任意の $\varepsilon > 0$ をとる．
$\delta > 0$ を次を満たすように定める．
　(1) $\delta < \frac{1}{2}$
　(2) $\delta < \frac{1}{19} \varepsilon$
$|x-2|<\delta$ となる $x$ に対して，
　　 $|x^{3} - 8|=|x-2||x^{2}+2x+4|$ 　　　　　（因数分解）
　　　　　　　 $\leq |x-2|(|x|^{2}+2|x|+4)$ 　　　　（三角不等式）
　　　　　　　 $\leq \delta ( (\delta + 2)^{2} + 2(\delta + 2) +4 )$ 　　（ $|x-2|<\delta$ より）
　　　　　　　 $= \delta^{3} + 6 \delta^{2} + 12 \delta$
　　　　　　　 $< \delta + 6 \delta + 12 \delta$ 　　　　　　　　　（(1)より $\delta^{2}<\delta,\delta^{3}<\delta$ ）
　　　　　　　 $= 19 \delta$
　　　　　　　 $<\varepsilon$ ．　　　　　　　　　　　　　　　（(2)を用いた）
ε-δ論法により $\lim_{x \to 2}x^{3}=8$ が示された．（証明終）