ボレル集合 - べっこう色の記録

位相空間における可測空間の構成を考える．

定義．（ボレル集合体）
位相空間 $X$ において，開集合系 $\mathcal{O}(X)$ を含む最小の $\sigma$ 集合体をボレル集合体 $\mathcal{B}(X)$ という．またその元をボレル集合という．□

最小の $\sigma$ 集合体は生成することによって生み出される．
すなわち，集合 $X$ の部分集合からなる集合族 $\mathcal{A}$ から生成される $\sigma$ 集合体は次の式で表される．
　　 $\langle \mathcal{A} \rangle_{\sigma}=\cap \{ \mathcal{A}' \mid \mathcal{A} \subset \mathcal{A}' \subset 2^{X}, \mathcal{A}'$ は $\sigma$ 集合体 $\}$
この式によれば $\mathcal{B}(X)=\langle \mathcal{O}(X) \rangle_{\sigma}$ である．

ここからは $\mathbb{R}^{d}$ に限定して考える．次の命題が成り立つ．

命題．
コンパクト集合全体の集合族を $C(\mathbb{R}^{d})$ とする．
　　 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})=\langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}$ ．□

（証明）
まず， $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) \supset \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}$ を示す．
任意の $K \in C(\mathbb{R}^{d})$ をとる．
$K^{c} \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^{d})$ であるから， $K^{c} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})$ となる．
$\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})$ は $\sigma$ 集合体であるから， $K \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})$ となる．
これより $O^{c} \in \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}$ がわかる．
よって $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})$ は $C(\mathbb{R}^{d})$ を含む $\sigma$ 集合体であるから， $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) \supset \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}$ がいえる．
次に， $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) \subset \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}$ を示す．
任意の $O \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^{d})$ をとる．
このとき $O^{c}=\cup_{j=1}^{\infty} (O^{c} \cap \overline{B(O;j)})$ として，コンパクト集合の可算和で表せる．
これより $O^{c} \in \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}$ より， $O \in \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}$ となる．
上記の議論と全く同様にして $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) \subset \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}$ が示される．（証明終）