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ボレル集合

位相空間における可測空間の構成を考える.

定義.(ボレル集合体)
位相空間Xにおいて,開集合系\mathcal{O}(X)を含む最小の\sigma集合体をボレル集合体\mathcal{B}(X)という.またその元をボレル集合という.□

最小の\sigma集合体は生成することによって生み出される.
すなわち,集合Xの部分集合からなる集合族\mathcal{A}から生成される\sigma集合体は次の式で表される.
  \langle \mathcal{A} \rangle_{\sigma}=\cap \{ \mathcal{A}' \mid \mathcal{A} \subset \mathcal{A}' \subset 2^{X}, \mathcal{A}'\sigma集合体\}
この式によれば\mathcal{B}(X)=\langle \mathcal{O}(X) \rangle_{\sigma}である.

ここからは\mathbb{R}^{d}に限定して考える.次の命題が成り立つ.

命題
コンパクト集合全体の集合族をC(\mathbb{R}^{d})とする.
  \mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})=\langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}.□

(証明)
まず,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) \supset \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}を示す.
任意のK \in C(\mathbb{R}^{d})をとる.
K^{c} \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^{d})であるから,K^{c} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})となる.
\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})\sigma集合体であるから,K \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})となる.
これよりO^{c} \in \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}がわかる.
よって\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})C(\mathbb{R}^{d})を含む\sigma集合体であるから,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) \supset \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}がいえる.
次に,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) \subset \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}を示す.
任意のO \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^{d})をとる.
このときO^{c}=\cup_{j=1}^{\infty} (O^{c} \cap \overline{B(O;j)})として,コンパクト集合の可算和で表せる.
これよりO^{c} \in \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}より,O \in \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}となる.
上記の議論と全く同様にして\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) \subset \langle C(\mathbb{R}^{d}) \rangle_{\sigma}が示される.(証明終)

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