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有限加法的集合環上の有限加法的測度

数学 ルベーグ積分

\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})上に(ルベーグ)測度を定める.
まず一般の有限加法的集合環上の有限加法的測度を定義する.

定義4.(測度)
X上の有限加法的集合環を\mathcal{R}とする.
関数\mu:\mathcal{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \}が次の二条件を満たすとき,\muを有限加法的測度という.
 (i)\mu(\emptyset)=0
 (ii)E,F \in \mathcal{R},E \cap F = \emptysetならば\mu(E \cup F)= \mu(E)+ \mu(F)
ここで(ii)に換えて次の(ii)'を満たすとき\mu測度という.
 (ii)'\displaystyle E_{j} \in \mathcal{R}\, (j \in \mathbb{N}), \bigsqcup_{j=1}^{\infty}E_{j} \in \mathcal{R}ならば\displaystyle \mu \Big( \bigsqcup_{j=1}^{\infty}E_{j} \Big) = \sum_{j=1}^{\infty} \mu(E_{j})

次に\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})上に有限加法的測度mを定める.
最終的にこのmを拡張してルベーグ測度とする.

第一に\mathbb{R}^{d}有界右半開区間I=[a_{1},b_{1}) \times \cdots \times [a_{d},b_{d})の測度はジョルダン測度と同様に定める.すなわちm(I):=|I|と定める.
第二にE \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})に対して定義する.
E \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})であるから,\displaystyle E=\bigsqcup_{j=1}^{k}I_{j}という表示が存在する.
この表示を用いて\displaystyle m(E):=\sum_{j=1}^{k}m(I_{j})と定める.

ここで気になることは,第二の定義はEの直和の表示によって定義されていることである.
つまり表示を変えればm(E)の値が変化する可能性があるということである.
そのようなことはありえない,すなわちwell-definedであることを示す.

E \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})に二通りの表示\displaystyle E=\bigsqcup_{j=1}^{k}I_{j}=\bigsqcup_{l=1}^{p}J_{l}があると仮定する.
このとき,\displaystyle E=\bigsqcup_{j=1}^{k} \bigsqcup_{l=1}^{p}(I_{j} \cap J_{l})に注意すると
  \displaystyle \sum_{j=1}^{k}m(I_{j})=\sum_{j=1}^{k} m \Big( \bigsqcup_{l=1}^{p}( I_{j} \cap J_{l} )\Big)
          \displaystyle =\sum_{j=1}^{k} \Big( \sum_{l=1}^{p} m ( I_{j} \cap J_{l} ) \Big)
          \displaystyle =\sum_{l=1}^{p} \Big( \sum_{j=1}^{k} m ( J_{l} \cap I_{j} ) \Big)
          \displaystyle =\sum_{l=1}^{p} m \Big( \bigsqcup_{j=1}^{k}( J_{l} \cap I_{j}) \Big)
          \displaystyle =\sum_{l=1}^{p} m (J_{l})
となる.これは二通りの表示のそれぞれの測度による値が一致することを意味している.
すなわちwell-definedである.