有限加法的集合環上の有限加法的測度

$\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ 上に（ルベーグ）測度を定める．
まず一般の有限加法的集合環上の有限加法的測度を定義する．

定義4．（測度）
$X$ 上の有限加法的集合環を $\mathcal{R}$ とする．
関数 $\mu:\mathcal{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \}$ が次の二条件を満たすとき， $\mu$ を有限加法的測度という．
　(i) $\mu(\emptyset)=0$
　(ii) $E,F \in \mathcal{R},E \cap F = \emptyset$ ならば $\mu(E \cup F)= \mu(E)+ \mu(F)$
ここで(ii)に換えて次の(ii)'を満たすとき $\mu$ を測度という．
　(ii)' $\displaystyle E_{j} \in \mathcal{R}\, (j \in \mathbb{N}), \bigsqcup_{j=1}^{\infty}E_{j} \in \mathcal{R}$ ならば $\displaystyle \mu \Big( \bigsqcup_{j=1}^{\infty}E_{j} \Big) = \sum_{j=1}^{\infty} \mu(E_{j})$ □

次に $\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ 上に有限加法的測度 $m$ を定める．
最終的にこの $m$ を拡張してルベーグ測度とする．

第一に $\mathbb{R}^{d}$ の有界右半開区間 $I=[a_{1},b_{1}) \times \cdots \times [a_{d},b_{d})$ の測度はジョルダン測度と同様に定める．すなわち $m(I):=|I|$ と定める．
第二に $E \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ に対して定義する．
$E \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ であるから， $\displaystyle E=\bigsqcup_{j=1}^{k}I_{j}$ という表示が存在する．
この表示を用いて $\displaystyle m(E):=\sum_{j=1}^{k}m(I_{j})$ と定める．

ここで気になることは，第二の定義は $E$ の直和の表示によって定義されていることである．
つまり表示を変えれば $m(E)$ の値が変化する可能性があるということである．
そのようなことはありえない，すなわちwell-definedであることを示す．

今 $E \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ に二通りの表示 $\displaystyle E=\bigsqcup_{j=1}^{k}I_{j}=\bigsqcup_{l=1}^{p}J_{l}$ があると仮定する．
このとき， $\displaystyle E=\bigsqcup_{j=1}^{k} \bigsqcup_{l=1}^{p}(I_{j} \cap J_{l})$ に注意すると
　　 $\displaystyle \sum_{j=1}^{k}m(I_{j})=\sum_{j=1}^{k} m \Big( \bigsqcup_{l=1}^{p}( I_{j} \cap J_{l} )\Big)$
　　　　　　　　　　 $\displaystyle =\sum_{j=1}^{k} \Big( \sum_{l=1}^{p} m ( I_{j} \cap J_{l} ) \Big)$
　　　　　　　　　　 $\displaystyle =\sum_{l=1}^{p} \Big( \sum_{j=1}^{k} m ( J_{l} \cap I_{j} ) \Big)$
　　　　　　　　　　 $\displaystyle =\sum_{l=1}^{p} m \Big( \bigsqcup_{j=1}^{k}( J_{l} \cap I_{j}) \Big)$
　　　　　　　　　　 $\displaystyle =\sum_{l=1}^{p} m (J_{l})$
となる．これは二通りの表示のそれぞれの測度による値が一致することを意味している．
すなわちwell-definedである．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

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