相対位相

位相空間 X,(Y, \, O(Y)) および写像 f:X \to Y が与えられたとする.
f連続写像になる最も弱い位相は
 O(X)= \{ f^{-1}(O) \mid O \in O(Y) \}
である.この位相をfによって(Y, \, O(Y))から誘導される位相という.

位相空間(X, \, O(X))の部分集合MからXへの標準的単射i:M \to X,\, i(x)=xによって(X, \, O(X))から誘導される位相をMにおける,O(X)相対位相O(M)という.

相対位相O(M)はどのような集合系か.
任意のO \in O(X)に対して
 i^{-1}(O)=\{ x \in M \mid i(x) \in O \}
      =\{ x \in M \mid x \in O \}
      =O \cap M
結局,O(M)=\{O \cap M \mid O \in O(X) \}が分かった.

レーリッヒ・コンドラコフのコンパクト性定理をまた勉強しようとしているのだが,その定義段階のX \subset \subset Yで動けなくなった.一回やったはずなのにすべて頭から流れ出している.そこでこうして誘導位相から勉強しなおしである.

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