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岩手大学2015農学部第2問を解く


1個のさいころを4回続けて投げ,出た目を1回目から順にa,b,c,dとするとき,次の問いに答えよ.ただし,さいころは1回投げると1,2,3,4,5,6の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする.
(1)  a < b < c < d となる確率を求めよ.
(2) a,b,c,dのうち,異なるものが3種類以下となる確率を求めよ.
(3) a,b,c,dのうち,異なるものが2種類となる確率を求めよ.


(1)
事象6^4通りである.
 a < b < c < dとなるのは,1〜6の数を重複なく4個選ぶ組み合わせに等しいので_{6}C_{4}=15通りである.
求める確率は\frac{15}{6^{4}}=\frac{5}{432}

(2)
出た順に組で(a,b,c,d)と表すこととする.
(1,b,c,d)について考える.
(i) b=1の場合
このとき,いかなるc,dも条件を満たすので6 \times 6=36通り.
(ii) b=2の場合
c=dで1,2でない」または「cまたはdのいずれかが1または2
のとき条件を満たす.
(ii-i)「c=dでいずれも1,2でない」
c=d=3,4,5,6より4通り.
(ii-ii)「cまたはdのいずれかが1または2
c=1,2のとき,dはどのような数でもよいので6 \times 2=12通り.
c=3,4,5,6のとき,d=1,2となるので4 \times 2=8通り.
以上をまとめて,4+12+8=24通り.
b=3,4,5,6の場合も同様で24 \times 4= 96通り.
つまり,(1,b,c,d)は全部で36+24 \times 5=156通り.
a=1のときに限らず,a=2,3,4,5,6のときもすべて出方は同様に確からしいので,
条件を満たす(a,b,c,d)は全部で156 \times 6=936通りである.
以上から,求める確率は\frac{936}{6^{4}}=\frac{13}{18}

(3)
1から6のうち,異なる2種類の数字の選び方は_6 C_2=15通りである.
a,b,c,dから2種類の数字のうちの一方を入れる場所を2箇所選ぶと順番も決まるので_4 C_2=6通り.
これより15 \times 6=90通りである.
以上より,求める確率は\frac{90}{6^{4}}=\frac{5}{72}