不等式ネタ

数学難問集100から.


a,b,c>0のとき,(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \leq 3(a^{5}+b^{5}+c^{5})を示せ.

一般に次の不等式が成り立つ.

命題.(チェビシェフの不等式)
x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3}y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}とする.
このとき,不等式
  \frac{1}{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}) \times \frac{1}{3}(y_{1}+y_{2}+y_{3}) \leq \frac{1}{3}(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})
が成立する.□

さらに3をnにかえても成立する.

(証明)
両辺を3倍し,(右辺)−(左辺)を計算する.
   3(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})-(x_{1}+x_{2}+x_{3})(y_{1}+y_{2}+y_{3})
  =(x_{1}y_{1}+x_{1}y_{1}+x_{1}y_{1} + \cdots +x_{3}y_{3})-(x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{1}y_{3} + \cdots +x_{3}y_{3})
マイナスをはさんで前後に項が9個ずつある.
x_{1},x_{2},x_{3}でくくることができる項をまとめていく.ただし添字がそろう項は0である.
  =x_{1}(y_{1}-y_{2})+x_{1}(y_{1}-y_{3})+x_{2}(y_{2}-y_{1})+x_{2}(y_{2}-y_{3})+x_{3}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{3}-y_{2})
  =(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})+(x_{3}-x_{1})(y_{3}-y_{1})+(x_{3}-x_{2})(y_{3}-y_{2}) \geq 0.(証明終)

解)
命題において,x_{1}=a^{2},y_{1}=a^{3}x_{2}=b^{2},y_{2}=b^{3}x_{3}=c^{2},y_{3}=c^{3}と変数変換すると示される.(終)

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