lim_[x → 2] √x = √2の証明 - べっこう色の記録

問．
$\lim_{x \to 2}\sqrt{x}=\sqrt{2}$ をε-δ論法で証明せよ．□

（解説）
・ $\sqrt{x}>0$ より $|\sqrt{x}+\sqrt{2}|>\sqrt{2}$ である．
　よって $\frac{1}{|\sqrt{x}+\sqrt{2}|}<\frac{1}{\sqrt{2}}$ である．

（証明）
任意の $\varepsilon > 0$ をとる．
$\delta > 0$ を次を満たすように定める．
　(1) $\delta < \sqrt{2} \varepsilon$
$|x-2|<\delta$ を満たす $x$ に対して
　　 $|\sqrt{x} - \sqrt{2}|=\frac{|x-2|}{|\sqrt{x} + \sqrt{2}|}$ 　（分子の有理化）
　　　　　　　 $\leq \frac{|x-2|}{\sqrt{2}}$
　　　　　　　 $\leq \frac{\delta}{\sqrt{2}}$
　　　　　　　 $<\varepsilon$ ．　　　（(1)より）
ε-δ論法より $\lim_{x \to 2}\sqrt{x}=\sqrt{2}$ が示された．（証明終）