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lim_[x → 2] √x = √2の証明


\lim_{x \to 2}\sqrt{x}=\sqrt{2}ε-δ論法で証明せよ.□

(解説)
\sqrt{x}>0より|\sqrt{x}+\sqrt{2}|>\sqrt{2}である.
 よって\frac{1}{|\sqrt{x}+\sqrt{2}|}<\frac{1}{\sqrt{2}}である.

(証明)
任意の\varepsilon > 0をとる.
\delta > 0を次を満たすように定める.
 (1) \delta < \sqrt{2} \varepsilon
|x-2|<\deltaを満たすxに対して
  |\sqrt{x} - \sqrt{2}|=\frac{|x-2|}{|\sqrt{x} + \sqrt{2}|} (分子の有理化)
       \leq \frac{|x-2|}{\sqrt{2}}
       \leq \frac{\delta}{\sqrt{2}}
       <\varepsilon.   ((1)より)
ε-δ論法より\lim_{x \to 2}\sqrt{x}=\sqrt{2}が示された.(証明終)