連続関数の性質


関数fx=cにおいて連続で,f(c)>0ならば
x=cの十分近くのすべてのxに対してf(x)>0となる.□

典型的なε-δ論法の練習問題である.

(証明)
関数fx=cで連続であるから,
任意の\varepsilon >0に対して,ある\delta > 0|x-c| < \deltaならば|f(x) - f(c)|<\varepsilonとなるものが存在する.
\varepsilon=\frac{1}{2}f(c)>0ととる.上の式で存在する\delta_{0}>0を固定する.
|x-c|<\delta_{0}を満たすすべてのxに対して|f(x) - f(c)|<\frac{1}{2}f(c)である.
絶対値を外すと[tex:0 < \frac{1}{2}f(c)

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