連続関数の性質 - べっこう色の記録

問．
関数 $f$ が $x=c$ において連続で， $f(c)>0$ ならば
$x=c$ の十分近くのすべての $x$ に対して $f(x)>0$ となる．□

典型的なε-δ論法の練習問題である．

（証明）
関数 $f$ は $x=c$ で連続であるから，
任意の $\varepsilon >0$ に対して，ある $\delta > 0$ で $|x-c| < \delta$ ならば $|f(x) - f(c)|<\varepsilon$ となるものが存在する．
$\varepsilon=\frac{1}{2}f(c)>0$ ととる．上の式で存在する $\delta_{0}>0$ を固定する．
$|x-c|<\delta_{0}$ を満たすすべての $x$ に対して $|f(x) - f(c)|<\frac{1}{2}f(c)$ である．
絶対値を外すと[tex:0 < \frac{1}{2}f(c)