内測度 - べっこう色の記録

ルベーグ可測集合を定義した．
定義する際に使ったのはルベーグ外測度のみである．
「外」があるなら「内」もあるだろうと思うのが普通だろう．
ここではルベーグ内測度を定義し，直感に合う条件がカラテオドリの条件と同値であることを示す．

定義．（ルベーグ内測度）
各 $A \in 2^{\mathbb{R}^{d}}$ に対して，ルベーグ内測度 $m_{*}$ を以下のように定義する．
　　 $m_{*}(A)=\sup \{ m(C) \mid C \subset A,C$ はコンパクト集合 $\}$ □

コンパクト集合はボレル集合であるから可測集合である．

補題．
$m^{*}(A) < \infty$ とする。このとき $A$ を含む任意の測度有限な開集合 $O$ に対して
　　 $m_{*}(A)=m(O)-m^{*}(O \setminus A)$
が成り立つ．□