内測度

ルベーグ可測集合を定義した.
定義する際に使ったのはルベーグ外測度のみである.
「外」があるなら「内」もあるだろうと思うのが普通だろう.
ここではルベーグ内測度を定義し,直感に合う条件がカラテオドリの条件と同値であることを示す.

定義.(ルベーグ内測度)
A \in 2^{\mathbb{R}^{d}}に対して,ルベーグ内測度m_{*}を以下のように定義する.
  m_{*}(A)=\sup \{ m(C) \mid C \subset A,Cはコンパクト集合\}

コンパクト集合はボレル集合であるから可測集合である.

補題
m^{*}(A) < \inftyとする。このときAを含む任意の測度有限な開集合Oに対して
  m_{*}(A)=m(O)-m^{*}(O \setminus A)
が成り立つ.□

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