ルベーグ外測度をσ集合体上に制限すると測度となる

1.ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす
2.ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})\sigma集合体となる
3.ルベーグ外測度を集合系\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})上に制限すると測度となる

今回は下線を示す.

定義.(ルベーグ測度)
\widetilde{m}:=m^{*}|_{\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})}ルベーグ測度という.□

定理
ルベーグ測度は測度となる.□

(証明)
任意の\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}),\, E_{j} \cap E_{k} = \emptyset, j \neq kをとる.
このときルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系はσ集合体となる - アクセス不能の原因。
補題より次の式が成り立つ.
\displaystyle \widetilde{m}(\bigsqcup_{j=1}^{\infty} E_{j}) \geq \sum_{j=1}^{\infty} \widetilde{m}(E_{j})
逆向き不等号は外測度の条件から成立が言えるので,等号が成立する.(証明終)