べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

ルベーグ外測度をσ集合体上に制限すると測度となる

数学 ルベーグ積分

１．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす
２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})は\sigma集合体となる
３．ルベーグ外測度を集合系\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})上に制限すると測度となる

今回は下線を示す．

定義．（ルベーグ測度）
\widetilde{m}:=m^{*}|_{\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})}をルベーグ測度という．□

定理．
ルベーグ測度は測度となる．□

（証明）
任意の\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}),\, E_{j} \cap E_{k} = \emptyset, j \neq kをとる．
このときルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系はσ集合体となる - アクセス不能の原因。
の補題より次の式が成り立つ．
\displaystyle \widetilde{m}(\bigsqcup_{j=1}^{\infty} E_{j}) \geq \sum_{j=1}^{\infty} \widetilde{m}(E_{j})．
逆向き不等号は外測度の条件から成立が言えるので，等号が成立する．（証明終）