開集合の定義 - べっこう色の記録

こんなことも忘れているわけで…．
自分が情けなくなってくるので，ここに書いて自戒とする．

ここで $d(x,y)$ はユークリッド距離である．つまり $d(x,y)=\sqrt{\sum_{j=1}^{d}(x_{j}-y_{j})^{2}}$ である．

まず $\mathbb{R}^{d}$ における開集合は次の流れで定義する．
１．内点
$M \subset \mathbb{R}^{d}$ とする． $a \in \mathbb{R}^{d}$ に対して，適当な $r>0$ をとれば
　　 $B(a;r) \subset M$
が成立するとき， $a$ を $M$ の内点という．ただし $B ( a ; r ) = \{ x \mid d(a,x) < r \}$ は所謂開球体である．

２．開集合
$M \subset \mathbb{R}^{d}$ に対して， $M^{\circ}:=\{x \in \mathbb{R}^{d} \mid x$ は $M$ の内点 $\}$ と定義する．この $M^{\circ}$ を $M$ の開核という．
この上で $M=M^{\circ}$ となる集合 $M$ を開集合という．

一方，一般の集合 $X \neq \emptyset$ に位相を定める場合は，開集合系を与えることで位相構造とする．すなわち以下の三条件を満たす集合系 ${\cal O}(X)$ を位相という．

(Oi)　 $X \in {\cal O}(X)$ かつ $\emptyset \in {\cal O}(X)$ ．
(Oii)　 $O_{1},O_{2} \in {\cal O}(X)$ ならば $O_{1} \cap O_{2} \in {\cal O}(X)$ ．
(Oiii)　 $\{ O_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda} \subset {\cal O}(X)$ ならば $\bigcup_{\lambda \in \Lambda}O_{\lambda} \in {\cal O}(X)$ ．

いずれにしてもこの後で閉集合や境界やらを定めるわけだが，いつでもこの開集合系が基本になることを忘れてはいけない．