開集合の定義

こんなことも忘れているわけで….
自分が情けなくなってくるので,ここに書いて自戒とする.

ここでd(x,y)ユークリッド距離である.つまりd(x,y)=\sqrt{\sum_{j=1}^{d}(x_{j}-y_{j})^{2}}である.

まず\mathbb{R}^{d}における開集合は次の流れで定義する.
1.内点
M \subset \mathbb{R}^{d}とする.a \in \mathbb{R}^{d}に対して,適当なr>0をとれば
  B(a;r) \subset M
が成立するとき,aM内点という.ただし B ( a ; r ) = \{ x \mid d(a,x) < r \}は所謂開球体である.

2.開集合
M \subset \mathbb{R}^{d}に対して,M^{\circ}:=\{x \in \mathbb{R}^{d} \mid xMの内点\}と定義する.このM^{\circ}M開核という.
この上でM=M^{\circ}となる集合M開集合という.

一方,一般の集合X \neq \emptysetに位相を定める場合は,開集合系を与えることで位相構造とする.すなわち以下の三条件を満たす集合系{\cal O}(X)を位相という.

(Oi) X \in {\cal O}(X)かつ\emptyset \in {\cal O}(X)
(Oii) O_{1},O_{2} \in {\cal O}(X) ならば O_{1} \cap O_{2} \in {\cal O}(X)
(Oiii) \{ O_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda} \subset {\cal O}(X) ならば \bigcup_{\lambda \in \Lambda}O_{\lambda} \in {\cal O}(X)

いずれにしてもこの後で閉集合や境界やらを定めるわけだが,いつでもこの開集合系が基本になることを忘れてはいけない.

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