積分の変数変換(一変数の場合)

x=\varphi(t)は適切な範囲でC^{1}級関数であるとする.また\varphi(a)=\alpha,\, \varphi(b)=\betaとする.
このとき
  \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t)) \varphi'(t)dt

証明は両辺を変数変換した後の変数で微分するとよいようだ.