東北大学2017年数学問5を解く - べっこう色の記録

難しかった。複素数の方程式の解の存在条件なんて知らなかったからだ。
かなり考えて、結局は実数の話にすりかえることで解決できることに気がついた。

５． $\alpha, \beta, \gamma$ を複素数とし， $z \bar{z}+\alpha z + \beta \bar{z} + \gamma=0$ …(*)を満たす複素数 $z$ を考える．
以下の問いに答えよ．
(1) $z$ は $(\alpha - \bar{\beta})z - (\bar{\alpha} - \beta)\bar{z}+\gamma - \bar{\gamma}=0$ を満たすことを示せ．
(2) $|\alpha|=|\beta| \neq 0$ と仮定し，また $\gamma$ は負の実数であると仮定する．このとき，(*)を満たす $z$ がちょうど2個あるための必要十分条件を $\alpha, \beta$ を用いて表せ．

解）(1) (*)の両辺の複素共役をとり、辺々引くと得られる．
(2) 仮定から(1)の式は $(\alpha - \bar{\beta})z - (\bar{\alpha} - \beta)\bar{z}=0$ となる．
移項して $\alpha z + \beta \bar{z} =\bar{\alpha} \bar{z} + \bar{\beta} z=\overline{\alpha z + \beta \bar{z}}$ が得られる．
これは $\alpha z + \beta \bar{z}$ が実数であることを意味する．つまり(*)は実数の方程式であることが分かる．
$z=x+yi, \alpha=a+bi, \beta=c+di$ とおき，(*)に代入し整理すると次の式が得られる．
$x^2 + y^2 +(a+c)x+(-b+d)y+\gamma + ((b+d)x+(a-c)y)i=0$ …(**)
左辺が実数であることから虚部が0より $(b+d)x+(a-c)y=0$ …(***)を得る．
(**)と(***)を $x,y$ の連立方程式とみて解くが，以下のように場合分けして考える．
（i） $a-c \neq 0$ の場合
$y=\frac{b+d}{a-c} x$ と変形できるので， $\frac{b+d}{a-c}=A$ と置き換えて，(**)に代入する．
$(1+A^2)x^2+((a+c)+(d-b)A)x+\gamma=0$
これは $x$ についての2次方程式である． $\gamma < 0$ に注意すると，この方程式の判別式は $D=((a+c)+(d-b)A)^2-4(1+A^2)\gamma >0$ となるので，常に異なる2個の実数解が存在する．よって元の $z$ の実部が異なるので，(*)を満たす $z$ も2個存在する．
（ii） $a - c =0$ の場合
(***)は $(b+d)x=0$ となる．
$x=0$ のとき(**)は $y^2 + (-b+d)y + \gamma =0$ となる． $\gamma < 0$ に注意すると，この方程式の判別式は $D=(-b+d)^2- 4 \gamma >0$ であるから， $y$ が異なる2個の実数解を持つことになり， $z$ の虚部が異なり，(*)を満たす $z$ も2個存在する．
$b+d =0$ のとき，(**)は $x^2 + y^2 +2ax -2by + \gamma =0$ となる．
どのような $a, b$ に対しても $(x+a)^2 + (y-b)^2=a^2 + b^2 - \gamma$ となる．
この式の右辺は常に正ゆえ，中心 $(-a,b)$ ，半径 $\sqrt{a^2 + b^2 - \gamma}$ の円の方程式を表す．
つまり $x,y$ は円周上の点をすべてとるので， $z$ も無数に存在する．
以上（i）（ii）から $a=c,b=-d$ のときを除いて（*）を満たす $z$ はちょうど2個存在することになる．
$\alpha, \beta$ の言葉で言い換えると， $\alpha \neq \bar {\beta}$ が求める条件である．