べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

岩手大学2017農学部第5問を解く

数学岩手大学

珍しく単純な多項式の問題だが，なんというか，微妙な出題だと思う。
物足りない感じがするので，元々はもうちょっと尾ひれがあったか，
問いたいものがあったのかもしれない。

５．
実数 $x$ について， $A=x^4+4x^3+4x^2+5,B=x^2+2x+2$ とおくとき，次の問いに答えよ。
(1) 整式 $A$ を整式 $B$ で割った商と余りを求めよ。
(2) $A$ を $B$ の2次式で表せ。
(3) 設問(2)で求めた式を用いて， $\frac{A}{B}$ の最小値と，そのときの $x$ の値を求めよ。

解）
(1)
割り算を実際実行すればよく，商 $x^2+2x-2$ ，余り $9$ である。

(2)
(1) の計算から，割り算の原理を使って書き下すと
$A=B \times (x^2+2x-2)+9$
であるが， $x^2+2x-2=B-4$ より $A=B(B-4)-9=B^2-4B+9$ となる。

(3)
$B=(x+1)^2+1>0$ であるから(2)の両辺を $B$ で割って， $\frac{A}{B}=B-4+\frac{9}{B}$ を得る。
ここで右辺に相加相乗平均の不等式を用いると，
$\frac{A}{B}=B+\frac{9}{B}-4 \geq 2 \times 3 -4 =2$ ．
等号成立条件は $B=\frac{9}{B}$ ，つまり $B^2=9$ で $B>0$ より $B=3$ となる。
これは $(x+1)^2+1=3$ より $(x+1)^2=2$ すなわち $x=-1 \pm \sqrt{2}$ である。
以上より $x=-1 \pm \sqrt{2}$ で最小値 $2$ をとる。