常微分方程式の局所解の一意存在定理１

今回から何回かに分けて，
常微分方程式の局所解の一意存在定理（Cauchy-Lipschitzの定理）
を証明する．設定は以下のようである．

$R,r>0$ とする． ${\mathbb R}^N \times \mathbb{R}$ における有界閉領域 $D=D(R,r)$ を
$\begin{equation} D(R,r):=\{ (x,t) \in \mathbb{R}^N \, \mid \, |x| \leq R,\, |t| \leq r \}\end{equation}$
と定める．
$D$ におけるベクトル値連続関数 $f$ は
$f=f(x,t)=\left( \begin{array}{cc} f_{1}(x,t)\\ \vdots \\ f_{N}(x,t)\\ \end{array} \right), \quad (x,t) \in D,$
と表されるとする．
　このとき次の常微分方程式を考える．
　　 $\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t),t).$
これは改めて列ベクトルの形で書くと，
　　 $\left( \begin{array}{cc} \frac{d}{dt}x_{1}(t)\\ \vdots \\ \frac{d}{dt}x_{N}(t) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} f_{1}(x(t),t)\\ \vdots \\ f_{N}(x(t),t) \end{array} \right)$
という意味である．以上の設定の下，定理を述べる．

定理．（常微分方程式の局所解の一意存在定理）
　 $D=D(R,r)$ 上の連続なベクトル値関数 $f=f(x,t),\, (x,t) \in D$ は次の条件を満たすとする．
　１． $M:= \max\{|f(x,t)|\, \mid \, (x,t) \in D\} < \infty$ とする．
　２． $f$ は空間変数 $x$ についてLipschitz連続，すなわち
　　　ある正定数 $L$ が存在して，
　　　　 $|f(x_{1},t)-f(x_{2},t)| \leq L |x_{1}-x_{2}|$
　　　をすべての $(x_{1},t),\, (x_{2},t) \in D$ に対し満たすものとする．
このとき，次の常微分方程式の初期値問題
　 $\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t),t),\, \, x(0)=0 \in \mathbb{R}^N$
に対して，ある時刻 $T_{0}=T_{0}(N,R,r,M) \in (0, r)$ と $[-T_{0},T_{0}]$ 上の局所解が一意的に存在する．

定理の注意を述べる．

注意．
１．常微分方程式の初期値を $x(0)=0$ としているが，これは簡単のためである．一般に $x_{0} \in {\mathbb R}^N,\, t_{0} \in {\mathbb R}$ に対して，初期値を $x(t_{0})=x_{0}$ としてもかまわない．その場合には，領域 $D$ を
$D=\{(x,t) \in \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R} \mid\, |x-x_{0}| \leq R,\, |t-t_{0}| \leq r \}$
と修正した上で，同様の議論で示せる．さらにLipschiz条件が成立する領域が全空間であればこの解は大域解になる．つまり通常の意味での一階線形常微分方程式が大域解として表示を持つのは明らかである．
２．Lipschitz連続の条件は $C^{1}$ の条件の必要条件である．すなわち， $f$ が $C^{1}$ 級であれば定理が成立する．