とりあえず初めての数学の記事を作る.
その1回目がJordan標準形とはあまりにも重過ぎると思われるだろう.
実は個人的にJordan標準形を理解するまでにはかなり苦労したので,
どうしても最初の記事にして,私と同じような経験をする人を極力減らしたいと思ったのだ.
そもそもJordan標準形は教科書,他のサイト,Wikipedia,どこを見ても抽象論が多く,
私や,抽象論に慣れない人にとってハードルが高い(と思う).
そこで一度とにかく具体例を示してみることにする.
具体例を見て,それを暗記して,それで終わって何も身につかない人もいるだろう.
でもJordan標準形の抽象論や証明を見せられて,食わず嫌いになるよりましではないかと思うのだ.
例題:次の行列
のJordan標準形を求めよ.
解:3段階で求める.
step1:行列 A の固有値を求める
A の特性方程式
を解く.ここで I は単位行列である.解は 1 (重複度 3 )となる.
step2:固有値に対する固有ベクトルと(広義)固有空間を求める
を解くとである.
よって固有空間はとなるので,1次元の空間である.
を解くと(は任意)である.
よって広義固有空間となるので,2次元の空間である.
を解くとすべての u が解である.
よって広義固有空間となる.
そこで固有ベクトルを1個固定する.
,
とおく.
step3:ジョルダン標準形へ変換する
行列 P をで定める.このとき,
となるから,Pの逆行列を左乗して
を得る.これでジョルダン標準形に変換できた.
(20.11.20 追記)内容を大幅に変更した.