岩手大学2018農学部第4問を解く

最初,一般のr>0でやらせるわりには,途中からr=1で固定するためうまみの少ない問題である。
いつもどおりのルートの混じった定積分が登場するが,慌てずに因数分解して公式を使おう。

4.
 x<0の範囲において,直線\ellが放物線C_1 y=-\frac{1}{2}x^2-rと円C_2 x^2+y^2=r^2の両方に接している。r>0とする。
このとき,次の問いに答えよ。

(1) 円C_2に接する直線の方程式をax+by+c=0とするとき,ra,b,cを用いて表せ。ただし,a,b,cは定数とする。
(2) r=1のとき,直線\ellの方程式を求めよ。
(3) r=1のとき,直線\ellと放物線C_1およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

解)
(1)
C_2の中心は原点であり,原点と直線の距離が半径rに等しいとき接するから,
r=\frac{|c|}{\sqrt{a^2*b^2}}である。

(2)
放物線C_1の接線の接点を(t, -\frac{1}{2}t^2-1)とおく。
y'=-xであるから,接点での接線の傾きは-tであるから,接線の方程式は
y-(-\frac{1}{2}t^2-1)=-t(x-t)
である。一般形に整理して
tx+y-\frac{1}{2}t^2+1=0
である。(1)より
\frac{|-\frac{1}{2}t^2+1|}{\sqrt{t^2+1}}=1
分母を払って,両辺を2乗して整理すると
t^2(t^2-8)=0
t=0,\pm 2\sqrt{2}
t<0よりt=-2\sqrt{2}
を得る。以上より接線の方程式はy=2\sqrt{2}x+3である。

(3)
求める面積は
\int_{-2\sqrt{2}}^{0}( ( 2 \sqrt{2}x+3)-(-\frac{1}{2}x^2-1))dx
=\int_{-2\sqrt{2}}^{0}(\frac{1}{2}x^2+2\sqrt{2}x+4)dx
=\frac{1}{2} \int_{-2\sqrt{2} }^{0} (x+2\sqrt{2})^2dx
=\frac{1}{2} [ \frac{1}{3} (x+2\sqrt{2} )^3 ]_{-2 \sqrt{2}}^{0}
=\frac{8 \sqrt{2}}{3}
である。