岩手大学2018農学部第3問を解く

典型的な部分と少しだけ頭をつかう部分に分かれた良いパズル的な問題だった。
(3)は案外引っかかるかもしれない。

3.
ある自然数の3乗になっている数を立方数と呼ぶことにする。
例えば,1=1^3, 8=2^3,216=6^3=2^3 \cdot 3^3などは立方数である。
m=25920の立方数について,次の問いに答えよ。
(1) mnが立方数となる最小の自然数nを求めよ。
(2) mの正の約数で,かつ立方数でもあるものの個数を求めよ。
(3) 2^kmの正の約数で,かつ立方数であるものが12個となるような自然数kのうち,最大のものを求めよ。

解)
(1)
m=2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^1である.
それぞれの素数の指数が3の倍数となる最小のnを求めればよい.
つまりn=3^2 \cdot 5^2=225である.

(2)
2^6の正の約数で立方数であるものは1, 2^3, 2^6
3^4の正の約数で立方数であるものは1, 3^3
5^1の正の約数で立方数であるものは1である.
これらの組み合わせがmのの正の約数で立方数であるものであるので
合計3 \times 2 \times 1 = 6個である.

(3)
2^km=2^{k+6} \cdot 3^4 \cdot 5^1であり(2)と同様の計算を行う.
2^kmの正の約数で,かつ立方数であるものが12個となるのは,2^{k+6}の正の約数で立方数であるものが6個のときである.
すなわち1, 2^3, 2^6, 2^9, 2^{12}, 2^{15}となればよい.つまりk=9,10,11の場合であるので最大のものはk=11である.