直積群の基本

G_1, G_2を群としたとき,直積集合G_1 \times G_2の元(a_1, a_2),(b_1,b_2)に次のように演算を入れる。
(a_1, a_2)(b_1,b_2):=(a_1b_1,a_2b_2)
右辺のそれぞれの成分は,元の群の演算をおこなうこととする。これで直積集合は群となる。直積群,もしくは単に直積と呼ぶ。

Gの部分群H_1, H_2が次の2条件を満たすとする。
1) H_1の任意の元とH_2の任意の元は可換である。
2) 任意のGの元aはあるa_1 \in H_1およびa_2 \in H_2a=a_1a_2と一意的に表せる。
Gは部分群H_1, H_2の直積であるといい,G=H_1 \times H_2と表す。

最初の定義は与えられた2個の群から新たな群を生み出す方法であり,2番目の定義は1つの群を分解するイメージだろうか?素因数分解のような…。群論のイメージは自分自身にはまだあまりないので,よく分からないが今のところはそのように認識しておこう。