を群としたとき,直積集合の元に次のように演算を入れる。
右辺のそれぞれの成分は,元の群の演算をおこなうこととする。これで直積集合は群となる。直積群,もしくは単に直積と呼ぶ。
群の部分群が次の2条件を満たすとする。
1) の任意の元との任意の元は可換である。
2) 任意のの元はあるおよびでと一意的に表せる。
は部分群の直積であるといい,と表す。
最初の定義は与えられた2個の群から新たな群を生み出す方法であり,2番目の定義は1つの群を分解するイメージだろうか?素因数分解のような…。群論のイメージは自分自身にはまだあまりないので,よく分からないが今のところはそのように認識しておこう。
(追記19.9.23)
半直積というものもあることを知った。ソースはウィキブックスである。あなどれない。