東北大学2017年数学問5を解く

難しかった。複素数の方程式の解の存在条件なんて知らなかったからだ。
かなり考えて、結局は実数の話にすりかえることで解決できることに気がついた。

5.\alpha, \beta, \gamma複素数とし,z \bar{z}+\alpha z + \beta \bar{z} + \gamma=0…(*)を満たす複素数zを考える.
以下の問いに答えよ.
(1) z(\alpha - \bar{\beta})z - (\bar{\alpha} - \beta)\bar{z}+\gamma - \bar{\gamma}=0を満たすことを示せ.
(2) |\alpha|=|\beta| \neq 0と仮定し,また\gammaは負の実数であると仮定する.このとき,(*)を満たすzがちょうど2個あるための必要十分条件\alpha, \betaを用いて表せ.

解)(1) (*)の両辺の複素共役をとり、辺々引くと得られる.
(2) 仮定から(1)の式は(\alpha - \bar{\beta})z - (\bar{\alpha} - \beta)\bar{z}=0となる.
移項して\alpha z + \beta \bar{z} =\bar{\alpha} \bar{z} + \bar{\beta} z=\overline{\alpha z + \beta \bar{z}}が得られる.
これは\alpha z + \beta \bar{z}が実数であることを意味する.つまり(*)は実数の方程式であることが分かる.
z=x+yi, \alpha=a+bi, \beta=c+diとおき,(*)に代入し整理すると次の式が得られる.
x^2 + y^2 +(a+c)x+(-b+d)y+\gamma + ((b+d)x+(a-c)y)i=0…(**)
左辺が実数であることから虚部が0より(b+d)x+(a-c)y=0…(***)を得る.
(**)と(***)をx,y連立方程式とみて解くが,以下のように場合分けして考える.
(i)a-c \neq 0の場合
y=\frac{b+d}{a-c} xと変形できるので,\frac{b+d}{a-c}=Aと置き換えて,(**)に代入する.
(1+A^2)x^2+((a+c)+(d-b)A)x+\gamma=0
これはxについての2次方程式である.\gamma < 0に注意すると,この方程式の判別式はD=((a+c)+(d-b)A)^2-4(1+A^2)\gamma >0となるので,常に異なる2個の実数解が存在する.よって元のzの実部が異なるので,(*)を満たすzも2個存在する.
(ii)a - c =0の場合
(***)は(b+d)x=0となる.
x=0のとき(**)はy^2 + (-b+d)y + \gamma =0となる.\gamma < 0に注意すると,この方程式の判別式はD=(-b+d)^2- 4 \gamma >0であるから,yが異なる2個の実数解を持つことになり,zの虚部が異なり,(*)を満たすzも2個存在する.
b+d =0のとき,(**)はx^2 + y^2 +2ax -2by + \gamma =0となる.
どのようなa, bに対しても(x+a)^2 + (y-b)^2=a^2 + b^2 - \gammaとなる.
この式の右辺は常に正ゆえ,中心(-a,b),半径\sqrt{a^2 + b^2 - \gamma}の円の方程式を表す.
つまりx,yは円周上の点をすべてとるので,zも無数に存在する.
以上(i)(ii)からa=c,b=-dのときを除いて(*)を満たすzはちょうど2個存在することになる.
\alpha, \betaの言葉で言い換えると,\alpha \neq \bar {\beta}が求める条件である.