岩手大学2017農学部第4問を解く

例によって,関数のグラフをかくことはできない。
技術の問題である…。
そして数学2の積分の分野のオーソドックスな問題であって,練習に丁度いいと思う。
ただし放物線の次数を昇べきの順にしているのは少しだけいじわるのような気がする。
ま、マイナスを出さないということなんだろうが…。

4.
放物線 C:y=2x-x^2と直線\ell : y=axについて,定数a 0 < a < 2 の範囲にあるとき,次の問いに答えよ。
(1) 放物線Cと直線\ellで囲まれた部分の面積をaを用いて表せ。
(2) 直線\ellが,放物線Cx軸とで囲まれた部分の面積を二等分するときのaの値を求めよ。

解)
(1)
放物線と直線の共有点のx座標を求めると-x^2+2x=axを解いてx=0,2-aである。
求める面積はS_1=\int_0^{2-a}(-x^2+2x-ax)dx=\frac{1}{6}(2-a)^3.(1/6公式)

(2)
放物線とx軸で囲まれた部分の面積は\int_0^2(-x^2+2x)dx=\frac{1}{6} \times 2^3
この面積の二等分がS_1に等しければよいので,
\frac{1}{6}(2-a)^3 = \frac{1}{6} \times 2^3 \times \frac{1}{2}
これを解いて,a=2 - 2^{\frac{2}{3}}を得る.