岩手大学2017農学部第2問を解く

今年度も平面のベクトルだった。
(2)でベクトルの話から点の話へ移っているのは、ベクトルの成分を求めよ、だといまいちかっこつかないからだろうか。


2.
座標平面上で原点をOとし、3点A=(-2,1),B=(3,-4),C=(7,-1)をとり、\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}とおく。また、線分ABをt:(1-t)に内分する点をP、線分BCをt:(1-t)に内分する点をQ、線分PQをt:(1-t)に内分する点をRとする。ただし 0 < t <1 とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) \overrightarrow{OR}\vec{a},\vec{b},\vec{c}を用いて表せ。
解)それぞれの点P,Qが内分点として表されているので、
\overrightarrow{OP}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}, \overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}である。
再び点RはPとQの内分点であるから
\overrightarrow{OR}=(1-t)\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{OQ}
上式を代入して
\overrightarrow{OR}=(1-t)^2\vec{a}+2t(1-t)\vec{b}+t^2 \vec{c}
(2) 点Rの座標をtを用いて表せ。
解)\overrightarrow{OR}=(1-t)^2\vec{a}+2t(1-t)\vec{b}+t^2 \vec{c}\vec{a}=(-2,1),\vec{b}=(3,-4),\vec{c}=(7,-1)を代入することで
\overrightarrow{OR}=(-t^2+10t-2,8t^2-10t+1)を得る。求める点Rの座標はR(-t^2+10t-2,8t^2-10t+1)である。
(3) \overrightarrow{BC}\overrightarrow{OR}が垂直になるtの値を求めよ。
解)\overrightarrow{BC}\overrightarrow{OR}が垂直になるのは、\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{OR}=0を満たすことが同値である。
\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}=(4,3)であるから,
 \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{OR}=0
 4(-t^2+10t-2)+3(8t^2-10t+1)=0
 4t^2+2t-1=0
この2次方程式を解くと、t=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}となる。
0 < t < 1よりt=\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}が求めるtである。