岩手大学2017農学部第1問を解く

小問集合である.
出題ミスがあったようで(1)は載っていなかった.
ググるとすぐに問題を知ることはできて,次のような問題だったようである.
(1) 鋭角三角形ABCにおいてAB=\sqrt{6},AC=3\sqrt{3},\angle ABC =30^\circとするとき,辺ABの長さと△ABCの面積を求めよ.
鋭角三角形にならないのでミスになったわけだ。

(2) 自然数a,ba+2b=126をみたす。abの最大公約数が9のとき,このようなa,bをすべて求めよ。
解)12 + 2 \times 1 =14であるからa=108-2t,b=9+tt-8 \leq t \leq 53となる整数)が一般解である。
a,bの最大公約数が9であるからt=9sとおいて、a=18(6 - s),b=9(1+s)である。
s=0,1,2,3,4,5を順次代入することで適する組み合わせ、(a,b)=(108,9),(72,27),(36,45)が得られる。

(3) 数列 \{ a_n \} が,a_1 = 1, 2a_{n+1}=a_n+2n=1,2,3, \ldots)を満たすとき,この数列の一般項を求めよ。
解)2c=c+2を解くとc=2であって,2(a_{n+1}-2)=a_n-2からa_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)となる.
数列\{ a_n -2 \}は初項a_1-2=-1,公比\frac{1}{2}等比数列である.
つまりa_n -2 =-1 \times (\frac{1}{2})^{n-1}からこの数列の一般項はa_n=2-(\frac{1}{2})^{n-1}となる.

(17.10.15 追記)(2)が大間違い甚だしいものだったので修正した。