東進数学コンクール第44回に挑んだ

かなり手ごわかった.
いままで関数方程式を真剣に考えたことがなかっただけにつらかった.
あまりに冗長になったが,なんとか一応の解答を得たので公開する.
ちなみに締切日は昨日だった.
問題は東進のWebページで見てもらいたい.
解答はいつごろ発表なのだろうか…?
あざやかな解答があると思われるので楽しみに待っていたい.

解)
1st step 特殊な値の計算
与えられた方程式を(E)とおく.
(E)にx=2, y=f(2)を代入するとf(f(2)-2f(f(2)))=0となる.
そこで\alpha =f(2)-2f(f(2))…(a)とおく.
(E)にx=2,y=\alphaを代入するとf(f(2))=2f(2)-2 \alpha…(b)となる.
(a),(b)を連立して,\alpha = f(2)を得る.すなわちf(f(2))=0…(c).

2nd step 関数f単射であること
(E)にx=f(2)を代入するとf(-f(2)f(y))=-f(2)y…(d)が得られる.
関数f単射であることを証明する.
(証明)
任意の実数x,yに対してf(x)=f(y)とする.
(d)よりf(-f(2)f(x))=-f(2)x,f(-f(2)f(y))=-f(2)yであって,f(x)=f(y)より-f(2)x=-f(2)yが得られる.
f(2) \neq 0であればx=yとなり証明される.
いまf(2)=0と仮定する.(E)にx=y=2を代入するとf(0)=-4となる.
一方(c)よりf(0)=0であるから矛盾する.ゆえにf(2) \neq 0がいえたからx=yとなり単射であることがいえた.(証明終)

3rd step f(-f(x))=-xを得る
(d)にy=0を代入するとf(-f(2)f(0))=0であるが,(c)よりf(-f(2)f(0))=f(f(2))となる.
2nd stepから関数f単射なので-f(2)f(0)=f(2)で,f(2) \neq 0であったからf(0)=-1…(e)がわかった.
(E)にx=y=1を代入して(e)とあわせてf(1)=0…(f)もわかる.
(E)にx=2,y=1を代入して(f)とあわせてf(2)=1がわかる.
これで(d)はf(-f(y))=-yとなるが,みやすいように文字をとりかえてf(-f(x))=-x…(g)を得る.

4th step fを求める
(E)にy=\frac{2f(x)+x}{x}を代入する.ただしx \neq 0である.
f(f(x)-xf(\frac{2f(x)+x}{x})=2f(x)-x \cdot \frac{2f(x)+x}{x}=-xである.
(g)よりf(f(x)-xf(\frac{2f(x)+x}{x})=f(-f(x))f単射だったから,f(x)-xf(\frac{2f(x)+x}{x})=-f(x)となる.
ゆえにf(2\frac{f(x)}{x}+1)=2\frac{f(x)}{x}が従う.
\frac{f(x)}{x}x=0以外で定義される関数であるから,高々1個の値を除いたすべての実数を関数の値としてとるのであれば,2\frac{f(x)}{x}+1を改めてxとおくことで,その1個の値以外ではf(x)=x-1の表示を得る.
任意の実数kをとり,\frac{f(x_0)}{x_0}=kとなるx_0を求める.
式変形してf(x_0)=kx_0となるから,(E)にx=x_0 , y=2kを代入すると(f)よりf ( ( k - f ( 2k ) )x_0)=0=f(1)となる.
f単射だったから(k-f(2k))x_0=1,すなわちk-f(2k) \neq 0であればx_0 = \frac{1}{k-f(2k)}が得られる.
式から分子は 0 にならないので,このx_0 0 になることはない.
以上からk-f(2k) \neq 0であればx_0がとれることがわかる.
k=f(2k)となるkを求める.(E)にx=2k,y=1を代入すれば(f)よりf(k)=0=f(1)となる.
f単射だったからk=1となることがわかった.
つまり1以外のすべての実数に対してf(x)=x-1…(S)が示される.
ここで(f)よりf(1)=0であったから(S)はx=1の場合にも成立することがわかる.
ゆえに求める関数はすべての実数xに対してf(x)=x-1である.(終)

(17.8.8)ミスタイプを修正した.