ルベーグ積分の定義 - べっこう色の記録

いよいよルベーグ積分の定義に入っていこう．

[1] 非負単関数 $s$
非負単関数 $\displaystyle s(x) = \sum_{j=1}^k a_j \chi_{E_j}(x)$ に対して，そのルベーグ積分を
　 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} s(x) dm(x) := \sum_{j=1}^k a_j m(E_j)$
と定義する．

[2] 非負可測関数 $f$
非負可測関数 $f$ に対して，そのルベーグ積分を
　 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} f(x) dm(x) := \sup \{ \int_{\mathbb{R}^d} s(x) dm(x) \mid s$ は $s \leq f$ を満たす非負値単関数 $\}$
と定義する．可測集合 $E$ 上の積分は $f$ に指示関数 $\chi_E$ を乗したものの積分を考えればよい．

[3] 一般の関数
実数値可測関数 $f$ は $f=f_+ - f_-$ と非負の部分と負の部分に分けてそれぞれに[2]を適用すればよい．ただしいずれの積分値も無限大に発散する場合には定義しない．
複素数値の場合には実部と虚部に分ければ，それぞれが実数値ゆえ同様である．

これでひとまず積分の定義は終わった．
右半開区間の定義から始めて，遠くへ来たわりには定義はあっけないものという感じがする．
それもそのはずで，ここまでルベーグ測度を十分に整備してきたからこそである．

定理
$s_1 \leq s_2 \leq s_3 \leq \cdots \to f$ を満たす単関数列が存在すれば，
$\displaystyle \int f dm = \lim_{j \to \infty} \int s_j dm$ が成り立つ．

定義
${\cal L}(\mathbb{R}^d)=\{ f \mid f$ はルベーグ可積分関数である $\}$ と定義する．
ただしルベーグ可積分関数とはルベーグ積分の値が有限である関数のことである．

この集合を $f \sim g : \Leftrightarrow f=g$ a.e. という同値関係で割る．

定義
$L^1(\mathbb{R}^d , {\cal M}(\mathbb{R}^d) , m) := {\cal L}(\mathbb{R}^d)/ \sim$ と定義する．
左辺は $L^1(\mathbb{R}^d), L^1$ などとも書かれる．