ルベーグ積分の定義

いよいよルベーグ積分の定義に入っていこう.

[1] 非負単関数s
非負単関数\displaystyle s(x) = \sum_{j=1}^k a_j \chi_{E_j}(x)に対して,そのルベーグ積分
 \displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} s(x) dm(x) := \sum_{j=1}^k a_j m(E_j)
と定義する.

[2] 非負可測関数f
非負可測関数fに対して,そのルベーグ積分
 \displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} f(x) dm(x) := \sup \{ \int_{\mathbb{R}^d} s(x) dm(x) \mid ss \leq fを満たす非負値単関数 \}
と定義する.可測集合E上の積分fに指示関数\chi_Eを乗したものの積分を考えればよい.

[3] 一般の関数
実数値可測関数ff=f_+ - f_-と非負の部分と負の部分に分けてそれぞれに[2]を適用すればよい.ただしいずれの積分値も無限大に発散する場合には定義しない.
複素数値の場合には実部と虚部に分ければ,それぞれが実数値ゆえ同様である.

これでひとまず積分の定義は終わった.
右半開区間の定義から始めて,遠くへ来たわりには定義はあっけないものという感じがする.
それもそのはずで,ここまでルベーグ測度を十分に整備してきたからこそである.

さて,上記の定義を見て一番のポイントはというと当然[2]である.
上限で定義したがゆえに,どのような性質をもつのかよくわからない.
例えばリーマン積分のときにあった線形性や集合どうしの性質を調べるのが難しくなるだろう.
そこで下から近似する単関数の列のルベーグ積分の極限と,元の関数の積分の値が一致することを調べれば扱いやすくなる.
これで今後はルベーグ積分は話を進めていくことになるのである.

この定理の証明はやっかいなのでまた今度にする。