岩手大学2016農学部第4問を解く

(3)の面積比で少しだけ驚いた．
試験会場で余裕がなくなっているとがむしゃらに計算することになるだろう．
実際には曲線と接線で囲まれた部分の面積なので，
被積分関数が因数分解できることを考えるとそうでもない．

4．
曲線 $y=-x^3+3x^2+x-3$ を $C$ とし，曲線 $C$ 上の点 $(3,0)$ における接線を $\ell$ とする．
(1)接線 $\ell$ の方程式を求めよ．
(2) $p$ を実数とし，点 $(p,q_1)$ は接線 $\ell$ 上にあり，点 $(p,q_2)$ は曲線 $C$ 上にあるとする．
　 $p<3$ の範囲を $p$ が動くとき， $q_1 - q_2$ の最大値を求めよ．
(3)接線 $\ell$ と曲線 $C$ で囲まれた図形は， $y$ 軸によって2つの部分に分けられるが，
　それらの面積のうち小さいほうを $S$ ，大きいほうを $T$ とするとき， $\frac{T}{S}$ の値を求めよ．
（解）
(1)
$y'=-3x^2+6x+1$ から $x=3$ のとき $y'=-8$ である．
よって $\ell y=-8(x-3)=-8x+24$ である．

(2)
$f(p) = q_1 - q_2$ と定める．
$f(p)=(-8p+24)-(-p^3+3p^2+p-3)=p^3-3p^2-9p+27$ となる．
微分して
$f'(p)=3p^2-6p-9=3(p+1)(p-3)$
であるから $p<3$ の範囲では増減表をかくことで $p=-1$ で最大値をとることが分かる．
つまり $q_1 - q_2$ は $p=-1$ のとき最大値 $32$ をとる．

(3)
直線 $\ell$ と曲線 $C$ の差は $f(x)=x^3-3x^2-9x+27=(x+3)(x-3)^2$ である．
$f$ の因数分解から $y$ 軸よりも左側の積分区間は $-3 \leq x \leq 0$ であり，
$y$ 軸よりも右側の積分区間は $0 \leq x \leq 3$ である．
（左側） $\displaystyle =\int_{-3}^0(x+3)(x-3)^2dx$
$\displaystyle =\int_{-3}^0(x-3+6)(x-3)^2dx$
$\displaystyle =\int_{-3}^0((x-3)^3+6(x-3)^2)dx$
$\displaystyle = [ \frac{1}{4}(x-3)^4 + 2(x-3)^3 ]_{-3}^0$
$\displaystyle =\frac{1}{4}((-3)^4-(-6)^4)+2((-3)^3-(-6)^3)$
$\displaystyle =\frac{297}{4}$ ．

（右側） $\displaystyle =\int_0^3(x+3)(x-3)^2dx$
$\displaystyle =\int_0^3(x-3+6)(x-3)^2dx$
$\displaystyle =\int_0^3((x-3)^3+6(x-3)^2)dx$
$\displaystyle = [ \frac{1}{4}(x-3)^4 + 2(x-3)^3 ]_0^3$
$\displaystyle =\frac{1}{4}(0^4-(-3)^4)+2(0^3-(-3)^3)$
$\displaystyle =\frac{135}{4}$ ．