読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

岩手大学2016農学部第2問を解く

前回から大幅に開いてしまった….忙しかったのだ.
問題ももちろん忘れていたので結局解きなおした.
典型的な平面の幾何ベクトルである.
空間の幾何ベクトルが出なかったことに驚きを隠せない.
なんだろう,空間の幾何ベクトルの問題だと正答率が下がるからだろうか?

2.
平行四辺形ABCDにおいて\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}とおき,
 |\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5, |\overrightarrow{AC}|=6
であるとする.また,辺BCを1:4に内分する点をE,辺ABをs:(1-s)
内分する点をFとし(ただし,0 < s < 1),線分AEと線分DFの交点をPとするとき,
次の問いに答えよ.
(1) \vec{a}\vec{b}内積\vec{a} \cdot \vec{b}の値を求めよ.
\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}なので|\vec{a}+\vec{b}|=|\overrightarrow{AC}|=6である.
両辺2乗すると,
 |\vec{a}+\vec{b}|^2 = 36
 |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 36
|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5であるから
 16 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 25 = 36
よって,\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{5}{2}である.
(2)\overrightarrow{AP}\vec{a}, \vec{b}およびsで表せ.
 BE : EC = 1 : 4であるから\overrightarrow{BE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{5}\vec{b}となる.
つまり,\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}である.
点Pが線分AE上に存在するから\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AE}=k\vec{a}+\frac{1}{5}k\vec{b}…(!)(kは実数)と表せる.
また,AF : FB = s : (1-s)であるから,\overrightarrow{AF}=s \vec{a}となる.
ここで点Pが線分DF上に存在するから,\overrightarrow{AE}=(1-t)\overrightarrow{AF}+t\overrightarrow{AD}…(!!)(0 < t < 1)と表せる.
\vec{a}\vec{b}は一次独立なベクトルであるから,係数比較可能で(!)と(!!)から連立方程式を解くことでk=\frac{5s}{5+s}を得る.
以上から\overrightarrow{AE}=\frac{5s}{5+s}\vec{a}+\frac{s}{5+s}\vec{b}が得られる.

(以下工事中)