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岩手大学2016農学部第1問を解く

小問集合である.
昨年度同様,受験者を惑わせる,無駄に大きくどうでもいい数値設定である.

1.
(1) 2次関数 y = x^2 -2ax + a + 2 の最小値が負であるような定数 a の範囲を求めよ.
解)
与えられた関数を平方完成すると  y = (x - a)^2 - a^2 + a + 2 である.
頂点の座標は (a, -a^2+a+2) なので,x=a のとき最小値 -a^2+a+2 である.
この値が負であるとは  -a^2+a+2 < 0 のことで,この不等式を解くと a < -1 , 2 < a を得る.

(2) AチームとBチームがサッカーの試合を7回行う.
どの試合でも,Aチームが勝つ確率は\frac{1}{2},Bチームが勝つ確率は\frac{1}{6}
引き分けとなる確率は\frac{1}{3}であるとして,Aチームの試合結果が3勝2敗2引き分けとなる確率を求めよ.
解)
3勝2敗2引き分けとなる試合結果が何通りあるか計算する.
勝ちを○,負けを●,引き分けを△で表すと,○を3個,●を2個,△を2個並べる組み合わせに等しい.
これは {}_7 C_3 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 = 210通りある.
1つの組み合わせに対して,3勝2敗2引き分けとなる確率は(\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{1}{3})^2である.
求める確率は 210 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = \frac{35}{432}である.

(3) 四面体OABCにおいて,
 BC=30, CA=26, \cos \angle BAC = \frac{5}{13},OA=18, \angle OAB = \angle OAC = 90^\circ
であるとき,辺ABの長さ及び四面体OABCの体積を求めよ.
解)
△OABに対して余弦定理を用いる.
AB^2 +26^2 -2 \times 26 \times AB = 30^2
AB^2 -52 AB -224 = 0
(AB-56)(AB+4)=0
AB > 0 より AB = 56
また\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1より\sin^2 \angle BAC = \frac{144}{169}
つまり \sin \angle BAC = \frac{12}{13} である.
これより△ABC = \frac{1}{2} AB \times AC \times \sin \angle BAC = 672となる.
仮定より四面体OABCにおいて\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ であるから,底面積を△ABCと見ると高さはOAである.
よって四面体OABC=\frac{1}{3} \times 672 \times OA = \frac{1}{3} \times 672 \times 18 = 4032